[[Image:X-intercepts.svg|thumb|300px|区间[-2π,2π]上的函数ƒ(x)=cosx，红色点为函数的根。]]
数学上，函数f的一个根（或称零点）是f的定义域D中适合f(x)=0的元素x。换言之，x是方程f(x)=0的解。
多项式的一个根是相应多项式函数的零点。代数基本定理表明，任何非零多项式的根的个数（计入重数）至多等于其次数，且在复数域（或更一般地，在代数闭扩域）中根的个数恰好等于次数。例如，二次多项式f(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)有两个根：2和3，因为f(2)=2^2-5\times2+6=0且f(3)=3^2-5\times3+6=0。
如果函数将实数映射到实数，则其零点为函数图像与x轴交点的x坐标；在此上下文中，点(x,0)也称为x截距。
例子：
*若f(x) = \cos\mbox{ }x是實數域上定義的函數，它的根是所有形如\frac\pi2+k\pi的數（k為整數）。
*若f(x) = x^3 + x^2 + 4x + 4是實數域上定義的函數，它的根是x=-1。若f的定義域擴展至複數，則它會多了兩個根x=2\mathrm i, -2\mathrm i。
方程的解
每个关于未知数x的方程都可以通过将所有项移至等号左边，改写成如下形式：
:f(x)=0
因此，方程的解就是函数f的零点。换言之，研究函数的零点与研究方程的解是完全等价的。
多项式的根
每个实系数奇次多项式必有奇数个实根（计入重数）；偶次多项式必有偶数个实根。因此，奇次多项式至少有一个实根（因为最小奇正整数是1），而偶次多项式可能没有实根。这一结论可由介值定理证明：由于多项式函数是连续的，当函数值从负变为正（或反之）时必经过零，而奇次多项式的两端行为总是相反的，从而确保至少有一个根。
代数基本定理
代数基本定理指出，每个n次多项式都恰好有n个复根（计入重数）。实系数多项式的非实根以共轭对的形式出现。韦达定理将多项式的系数与其根的和与积联系起来。
求根方法
求函数零点的近似值有许多方法，其中最著名的是牛顿法；参见求根算法。
对于多项式，存在专门的算法，可以更高效地求出所有根或所有实根；参见多项式求根和实根隔离。
某些多项式（包括所有不超过四次的）的根可以用其系数的代数表达式表示，即以根式的形式给出；参见根式解。
零集
在各种数学领域中，函数的零集（zero set）是指其所有零点构成的集合。更精确地说，若f:X\to\mathbb{R}是一个实值函数（或更一般地，取值于某个加法群的函数），其零集为f^{-1}(0)，即\{0\}在X中的原像。
在相同的值域假设下，函数f的水平集（level set）是函数f-c（其中c是f的值域中的元素）的零集。
线性映射的零集也称为其核（kernel）。
函数f:X\to\mathbb{R}的余零集（cozero set）是f的零集的补集，即X中f不为零的子集。
应用
在代数几何中，代数簇的第一个定义就是通过零集给出的。具体而言，仿射代数集是多项式环k\left[x_1,\ldots,x_n\right]中几个多项式的零集的交集。在此上下文中，零集有时称为零轨迹（zero locus）。
在数学分析和几何学中，\mathbb{R}^n中的任何闭集都是某个定义在\mathbb{R}^n上的光滑函数的零集；这一结论可以推广到任何光滑流形上（作为仿紧空间的推论）。
在微分几何中，零集常用于定义流形。一个重要的特例是f为从\mathbb{R}^m到\mathbb{R}^n的光滑函数。若零是f的正则值，则根据正则值定理，f的零集是一个(m-n)维光滑流形。例如，\mathbb{R}^{m+1}中的单位m维球面是实值函数f(x)=\Vert x\Vert^2-1的零集。
参见
*求根算法
*介值定理：若连续函数在区间两端取相反符号，则该区间内至少有一个零点。
*高斯-卢卡斯定理：多项式导数的复根位于多项式根的凸包内。
参考文献
延伸阅读
*
评论 (0)