在数学中，特别是在算子理论和C-代数理论中，连续函数演算是一种允许将连续函数作用于C-代数中的正规元的函数演算。

在进阶的理论中，这种函数演算的应用非常自然，以至于往往它甚至不会被提及。毫不夸张地说，连续函数演算将C*-代数与更一般的巴拿赫代数区分了开来，对于后者只能定义全纯函数演算。

动机
对于巴拿赫代数 \mathcal{A} 中的成员 a ，若要将其谱 \sigma(a) 上的多项式函数演算推广到谱上的连续函数，似乎有一个明显的思路：依照魏尔施特拉斯逼近定理用多项式来逼近连续函数，然后将多项式中的数换成 \mathcal{A} 中成员 a ，再证明这些 a 的多项式序列收敛为 \mathcal A 中元素。

谱集 \sigma(a) \subset \C 上的连续函数由 z 和 \overline{z} 的形如 p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l \; \left( c_{k,l} \in \C \right) 的多项式来逼近，其中 \overline{z} 表示 z 的复共轭，而复共轭是复数上的一个對合。在将 z 替换为 a 时，为使 \overline{z} 也有对应，须考虑 \mathcal{A} 为巴拿赫-代数，即配备了一个对合运算 的巴拿赫代数，这时 \overline{z} 就被替换为 a^ 。由于多项式环 \C[z,\overline{z}] 是交换环，为得到一个 {\mathbb C}[z,\overline{z}]\rightarrow\mathcal{A} 的代數同態，须限制在 \mathcal A 中的正规元（即满足 a^a = aa^* 的成员）上。

须保证：若多项式序列 (p_n(z,\overline{z}))_n 在 \sigma(a) 上一致收斂于一连续函数 f ，则 \mathcal{A} 上的序列 (p_n(a,a^))_n 收敛于 f(a)\in\mathcal{A} 。对这个收敛性的问题进行细致分析之后，就会发现有必要采用C-代数。这些考量最终将导向所谓的连续函数演算。

定义
{{Math theorem
| math_statement = 设有单位元 e 的C-代数 \mathcal{A} 中有一正规元 a ，而 \mathcal C (\sigma(a)) 是 a 谱集 \sigma(a) 上的连续函数所构成的交换C-代数。于是存在唯一一个*-同态 \Phi_a \colon \mathcal C (\sigma(a)) \rightarrow \mathcal{A} 满足 \Phi_a (\boldsymbol{1}) = e 和 \Phi_a(\operatorname{Id}_{\sigma(a)}) = a ，其中常值函数 \boldsymbol{1} 满足 \boldsymbol{1}(z) = 1 ， \operatorname{Id} 是恒等映射。

该*-同态 \Phi_a 称为正规元 a 的连续函数演算，通常也记作 f(a) := \Phi_a(f)。
| name = 连续函数演算}}
由于*-同态性质，有以下对任意函数 f,g \in \mathcal C(\sigma(a)) 与标量 \lambda,\mu \in \C 有效的计算规则：

因此，可以同寻常连续函数那样看待连续函数在正规元上的推广，它的上述代数运算性质同寻常的连续复函数情况没有区别。

对于单位元的要求并不是一个强的限制。如果需要，可以，得到一个扩大了的C*-代数 \mathcal{A}_1 。对于 a \in \mathcal{A} 和满足 f(0) = 0 的 f \in \mathcal C(\sigma (a)) ，有 0 \in \sigma (a) 和 f(a)\in \mathcal{A} \subset \mathcal{A}_1 。

下面给出连续函数演算的存在性和唯一性的证明概要：

{{Math proof|设 C^(a,e) 是 a 和 e 所生成的C-子代数， a 在 C^(a,e) 中的谱和在 \mathcal{A} 中时是一样的，于是证明了 \mathcal{A} = C^(a,e) 。 实际的构造几乎直接可从中得出：只需设 \mathcal{A} 是某个紧空间 X 上的连续函数所构成的C*-代数并定义 \Phi_a(f) = f \circ x 。
|title=连续函数演算的存在性的证明}}

{{Math proof|考虑到 \Phi_a(\boldsymbol{1}) 和 \Phi_a(\operatorname{Id}_{\sigma(a)}) 已被固定，由于要求 \Phi_a 为*-同态，它对于所有的多项式 p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l \; \left( c_{k,l} \in \C \right) 来说已经唯一定义。根据魏尔施特拉斯逼近定理，它们构成了 \mathcal C(\sigma(a)) 的一个稠密子代数。因此 \Phi_a 是唯一的。
|title=连续函数演算的唯一性的证明}}

在泛函分析中，常对正规算子 T 的连续函数演算感兴趣，即 \mathcal{A} 是希尔伯特空间 H 上的有界算子所构成的C*-代数 \mathcal{B}(H) 的情况。在文献中，通常仅对此情况的自伴算子的连续函数演算作了证明。在这种情况下，证明不需要用到盖尔范德表示。

性质
到子代数的等距同构
连续函数演算 \Phi_a 是到 a 和 e 所生成的C-子代数 C^(a,e) 的等距同构，即：

• {{nowrap|\forall f \in \mathcal C(\sigma(a)),\quad\left\| \Phi_a(f) \right\| = \left\| f \right\|_{\sigma(a)} .}}于是 \Phi_a显然是连续的。
• {{nowrap|\Phi_a\left( \mathcal C(\sigma(a)) \right) = C^(a, e) \subseteq \mathcal{A},}} 也就是说 C^(a,e) 是连续函数演算的值域。

由于 a 是 \mathcal{A} 中的正规元，由 a 和 e 生成的C*-子代数是一个交换代数。特别地， f(a) 也是一个正规元，且函数演算的所有成员间都对易。

与其他函数演算的关系
全纯函数演算可无歧义地扩张为连续函数演算。因此，连续函数演算在多项式 p(z,\overline{z}) 上重合于多项式函数演算：
\forall c_{k,l} \in \C,\quad\Phi_a(p(z, \overline{z})) = p(a, a^) = \sum_{k,l=0}^N c_{k, l} a^k(a^)^l,
其中 p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l 。

对于 \sigma(a) 上一致收敛于函数 f \in \mathcal C(\sigma(a)) 的函数序列 f_n \in \mathcal C(\sigma(a)) ， f_n(a) 收敛于 f(a) 。对于 \sigma(a) 上绝对且一致地收敛的幂级数 f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n ，就有 f(a) = \sum_{n=0}^\infty c_na^n 。

反函数的连续函数演算
若有 f \in \mathcal{C}(\sigma(a)) 和 g\in \mathcal{ C}(\sigma(f(a))) ，那么它们的函数演算的复合满足 (g \circ f)(a) = g(f(a)) 。

设有两个正规元 a,b \in \mathcal{A}_N 满足 f(a) = f(b) ，且无论限制在 \sigma(a) 还是 \sigma(b) 上时 g 都是 f 的反函数，那么必然有 a = b ，因为 a = (f \circ g) (a) = f(g(a)) = f(g(b)) = (f \circ g) (b) = b 。

谱映射定理
谱映射定理 \forall f \in \mathcal C(\sigma(a)),\quad\sigma(f(a)) = f(\sigma(a))
也成立。

对于 b \in \mathcal{A} ，若有 ab = ba ，那么也有
\forall f \in \mathcal C ( \sigma (a)),\quad f(a)b = bf(a).
也就是说若 b 与 a 对易，则它也与 a 的在连续函数下的像 f(a) 对易。

与*-同态相容
设 \Psi \colon \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B} 是C-代数 \mathcal{A} 和 \mathcal{B} 间的保单位元的-同态，那么 \Psi 与连续函数演算间的复合是对易的。也就是说：
\forall f \in C(\sigma(a)),\quad\Psi(f(a)) = f(\Psi(a)).
特别地，连续函数演算与盖尔范德表示是对易的。

函数性质与像的性质间的关系
利用谱映射定理，具有某些性质的函数可以直接关联到C*-代数成员的某些性质：

• f(a) 是可逆元当且仅当 f 在 \sigma(a) 上没有零点。于是有 f(a)^{-1} = \tfrac{1}{f} (a) 。

• f(a) 是自伴元当且仅当 f 是实值函数，也就是\sigma(a) \subseteq \{ 0,1 \}说
• f(a) 是正元（ f(a) \geq 0 ）当且仅当 f \geq 0 ，也就是说
• f(a) 是幺正元，若 f 的值落在复单位圆中。也就是说， f(\sigma(a)) \subseteq \mathbb{T} = \{ \lambda \in \C \mid \left\| \lambda \right\| = 1 \}.
• f(a) 是一个投影，若 f 仅取值 0 或 1 ，也就是说 {{Nowrap|f(\sigma(a)) \subseteq \{ 0, 1 \}.}}

这些断言的基础是关于特定元素的谱的结论，这些结论会在一节中展示。

有界算子代数的谱
在 \mathcal{A} 是希尔伯特空间 H 上的有界算子所构C*-代数 \mathcal{B}(H) 的特殊情况下，正规算子 T \in \mathcal{B}(H) 的对应特征值 \lambda \in \sigma(T) 的特征向量 v \in H 也将是算子 f(T) 关于特征值 f(\lambda) \in \sigma(f(T)) 的特征向量。设 Tv = \lambda v ， 则 \forall f \in \sigma(T),\quad f(T)v = f(\lambda)v 。

应用
下面给出连续函数演算的众多应用中一些典型且非常简单的例子。

谱
设 \mathcal{A} 是一个C*-代数而 a \in \mathcal{A}_N 为其中一个正规元，则对于谱 \sigma(a) 有以下结论：

• a 是自伴元当且仅当 \sigma(a) \subseteq \R.
• a 是幺正元当且仅当 \sigma(a) \subseteq \mathbb{T} = \{ \lambda \in \C \mid \left\| \lambda \right\| = 1 \}.
• a 是一个投影当且仅当 {{Nowrap|\sigma(a) \subseteq \{ 0, 1 \}.}}

{{Math proof
|正规元 a \in \mathcal{A} 的连续函数演算 \Phi_a 是一个保单位元的*-同态，因此若 \operatorname{Id} \in \mathcal C( \sigma(a)) 是自伴的/幺正的/投影，则 a 也相应地成为自伴元/幺正元/投影。

\operatorname{Id} 自伴的充要条件是 \forall z \in \sigma(a),\quad z = \text{Id}(z) = \overline{\text{Id}}(z) = \overline{z}, 即 \sigma(a) 是实的。

\text{Id} 幺正的充要条件是 \forall z \in \sigma(a),\quad 1 = \text{Id}(z) \overline{\operatorname{Id}}(z) = z \overline{z} = |z|^2, 即 \sigma(a) \subseteq \{ \lambda \in \C \ | \ \left\| \lambda \right\| = 1 \} 。

\text{Id} 成为投影的充要条件是 (\operatorname{Id}(z))^2 = \operatorname{Id}}(z) = \overline{\operatorname{Id}(z), 即 \forall z \in \sigma(a),\quad z^2 = z = \overline{z}, 或者说 \sigma(a) \subseteq \{ 0,1 \} 。

|title=证明
}}

开方
设 a 是 C*-代数 \mathcal{A} 中的正元，那么对于每一个 n \in \mathbb{N} 存在一个唯一确定的正元 b \in \mathcal{A}_+ 满足 b^n =a ，即唯一的 n 次方根。

{{Math proof
|对于每个 n \in \mathbb{N} ，开方函数 f_n \colon \R_0^+ \to \R_0^+\colon x \mapsto \sqrt[n]x 是 \sigma (a) \subseteq \R_0^+ 上的连续函数。若通过连续函数演算来定义 b \; \colon = f_n (a) ，那么根据连续函数演算的性质有 b^n = (f_n(a))^n = (f_n^n)(a) = \operatorname{Id}_{\sigma(a)}(a)=a.

根据谱映射定理可知 \sigma(b) = \sigma(f_n(a)) = f_n(\sigma(a)) \subseteq [0,\infty), 也就是说 b 是正元。

设有另一正元 c \in \mathcal{A}_+ 满足 c^n = a = b^n ，则有 c = f_n (c^n) = f_n(b^n) = b ，因为正实数上的开方函数是函数 z \mapsto z^n 的反函数。
|title=证明
}}

若 a \in \mathcal{A}_{sa} 是自伴元，则至少有：对于每个奇数 n \in \N ，存在唯一确定的自伴元 b \in \mathcal{A}_{sa} 满足 b^n = a 。

类似地，对于C-代数 \mathcal{A} 中正元 a 和任意 \alpha \geq 0 ， a^\alpha 唯一定义了一个 C^(a) 中的正元，并满足 \forall\alpha, \beta \geq 0,\quad a^\alpha a^\beta = a^{\alpha + \beta}.
若 a 是可逆元，则还可以推广到取负值的 \alpha 。

绝对值
若 a \in \mathcal{A} 且 a^a 是正元，那么绝对值可由连续函数演算定义为 |a| = \sqrt{a^a} ，因为它在正实数上连续。

设 a 是C*-代数 \mathcal{A} 中的自伴元，则存在正元 a_+,a_- \in \mathcal{A}_+ ，使得 a = a_+ - a_- 和 a_+ a_- = a_- a_+ = 0 成立。 a_+ 和 a_- 也被称为正部和负部。此外还有 |a| = a_+ + a_- 。

{{Math proof
|函数 f_+(z) = \max(z,0) 和 f_-(z) = -\min(z, 0) 是 \sigma(a) \subseteq \R 上的连续函数且满足

• \operatorname{Id} (z) = z = f_+(z) -f_-(z),
• f_+(z)f_-(z) = f_-(z)f_+(z) = 0.

设 a_+ = f_+(a), a_- = f_-(a) ，由谱映射定理可知 a_+ 和 a_- 是正元，且有：

• a = \operatorname{Id}(a) = (f_+ - f_-) (a) = f_+(a) - f_-(a) = a_+ - a_-,
• a_+ a_- = f_+(a)f_-(a) = (f_+f_-)(a) = 0 = (f_-f_+)(a) = f_-(a)f_+(a) = a_- a_+.

此外，
f_+(z) + f_-(z) = |z| = \sqrt{z^* z} = \sqrt{z^2},
故
a_+ + a_- = f_+(a) + f_-(a) = |a| = \sqrt{a^* a} = \sqrt{a^2}.
|title=证明}}

幺正元
若 a 是有单位元 e 的C*-代数 \mathcal{A} 中的自伴元，那么 u = \mathrm{e}^{\mathrm{i} a} 是幺正元，其中 \mathrm{i} 表示虚数单位。反过来，若 u \in \mathcal{A}_U 是一个幺正元且其谱是复单位圆的真子集（即 \sigma(u) \subsetneq \mathbb{T} ），那么存在一个自伴元 a \in \mathcal{A}_{sa} 满足 u = \mathrm{e}^{\mathrm{i} a} 。

{{Math proof
|定义函数 f \colon \R \to \C,\ x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}x} ，由于 a 的自伴性使得 \sigma(a) \subset \R ，那么 f 在 a 的谱上有定义。取 u = f(a) ，由于 f\cdot \overline{f} = \overline{f}\cdot f = 1 ，根据函数演算性质可知 uu^ = u^u = e ，也就是说 u 是幺正元。

对于第二个命题，现在将 f \colon \R \to \C,\ x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}x} 限制到区间 [z_0,z_0+2\pi) 上（其中 z_0 \in \R ），从而可以定义其反函数 g:\mathbb T \to [z_0,z_0+2\pi):\ g(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x})=x ，且 g 在谱集 \sigma(u) 上有定义，且是其上的实值连续函数。那么它的连续函数函数演算就会将 u 映为自伴元 a=g(u) 。
|title=证明}}

谱分解定理
设 \mathcal{A} 是一个有单位元的C*-代数，其中有一个正规元 a \in \mathcal{A}_N 。假设谱由 n 个两两不相交的闭子集 \sigma_k \subset \C,\ (1\leq k\leq n) 构成，也就是说 \sigma(a)=\sigma_1 \sqcup \cdots \sqcup \sigma_n 。那么就存在投影 p_1, \ldots, p_n \in \mathcal{A} ，使得下面的命题对任意 j\geq1,k \leq n 都成立：

投影的谱满足 \sigma(p_k)=\sigma_k.

投影与 a 对易，即 p_ka=ap_k.

投影是正交的，即 p_jp_k=\delta_{jk} p_k.

投影之和为单位元，即 \sum_{k=1}^n p_k = e.

特别是，有分解 a = \sum_{k=1}^n a_k ，其中 \forall 1 \leq k \leq n,\sigma(a_k) = \sigma_k.

{{Math proof
|由于 \sigma_k 是闭的，故其指示函数 \chi_{\sigma_k} 在 \sigma(a) 上连续，可以定义其连续函数演算。

令 p_k := \chi_{\sigma_k} (a) 。
由于 \sigma_k 两两不交，有

• \chi_{\sigma_j} \chi_{\sigma_k} = \delta_{jk} \chi_{\sigma_k},
• \sum_{k=1}^n \chi_{\sigma_k} = \chi_{\cup_{k=1}^n \sigma_k} = \chi_{\sigma(a)} = \textbf{1},

从而由指示函数的连续函数演算所得的 p_k 满足性质3、4。

性质2则可由 a_k = a p_k = \operatorname{Id} (a) \cdot \chi_{\sigma_k} (a) = (\operatorname{Id} \cdot \chi_{\sigma_k}) (a) 证明。
|title=证明}}

注释
参考资料
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• English translation of

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外部链接

• [http://planetmath.org/continuousfunctionalcalculus Continuous functional calculus - PlanetMath]