婆羅摩笈多公式

歐氏平面幾何中，婆羅摩笈多公式是用以計算圓內接四邊形的面積的公式，以印度數學家婆羅摩笈多之名命名。一般四邊形的面積公式請見布雷特施奈德公式。

基本形式
婆羅摩笈多公式的最簡單易記的形式，是圓內接四邊形面積計算。若圓內接四邊形的四邊長為a, b, c, d，則其面積為：

: \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

其中s為半周長：

: s=\frac{a+b+c+d}{2}

证明
圆内接四边形的面积 = \triangle ADB的面积 + \triangle BDC的面积

:= \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin C.

但由于ABCD是圆内接四边形，因此\angle DAB = 180^\circ - \angle DCB 。故\sin A = \sin C 。所以：

:\mbox{Area} = \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin A

:(\mbox{Area})^2 = \frac{1}{4}\sin^2 A (pq + rs)^2

:4(\mbox{Area})^2 = (1 - \cos^2 A)(pq + rs)^2 \,

:4(\mbox{Area})^2 = (pq + rs)^2 - cos^2 A (pq + rs)^2. \,

对\triangle ADB和\triangle BDC利用余弦定理，我们有：

:DB^2 = p^2 + q^2 - 2pq\cos A = r^2 + s^2 - 2rs\cos C. \,

代入\cos C = -\cos A（这是由于A和C是互补角），并整理，得：

:2\cos A (pq + rs) = p^2 + q^2 - r^2 - s^2. \,

把这个等式代入面积的公式中，得：

:4(\mbox{Area})^2 = (pq + rs)^2 - \frac{1}{4}(p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2

:16(\mbox{Area})^2 = 4(pq + rs)^2 - (p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2, \,

它是a^2-b^2的形式，因此可以写成(a+b)(a-b)的形式：

:(2(pq + rs) + p^2 + q^2 -r^2 - s^2)(2(pq + rs) - p^2 - q^2 + r^2 +s^2) \,

:= [ (p+q)^2 - (r-s)^2 ][ (r+s)^2 - (p-q)^2 ] \,

:= (p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p). \,

引入T = \frac{p+q+r+s}{2} ，

:16(\mbox{Area})^2 = 16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s). \,

两边开平方，得：

:\mbox{Area} = \sqrt{(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}.

证毕。

更特殊情況
若圓O的圆內接四邊形的四邊長為a, b, c, d，且外切于圆C，則其面積為：

: \sqrt{abcd}

证明
由于四边形内接于圆O，所以：
: S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

其中p為半周長：

: p=\frac{a+b+c+d}{2}

又因为四边形外切圆C，所以：

: a+c=b+d

则：

: p-a=\frac{b+c+d-a}{2}=\frac{a+c+c-a}{2}=c

同理:

p-b=d，
p-c=a，
p-d=b

综上：

S=\sqrt{abcd}

证毕。

一般情況
布雷特施奈德公式
對一般四邊形的面積有布雷特施奈德公式，其敘述如下：

: \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-a b c d \cos^2\theta}

其中 \theta 是四邊形一對對角和的一半。

注意到不論取到哪一對對角 \cos^2 \theta 的值都一樣，因為四邊形的內角和是 2\pi，故如果選取到的是另一對角，其對角和的一半是 \pi-\theta。而 \cos(\pi-\theta)=-\cos\,\theta，所以有 \cos^2(\pi-\theta)=\cos^2\theta。

假設此時四邊形恰好四頂點共圓，由於圓內接四邊形的對角和為 \pi，因此 \theta={\pi\over2}，而且由 \cos\,{\pi\over 2}=0，可推得此時 abcd\cos^2\theta=0，布雷特施奈德公式恰好退化回婆羅摩笈多公式。

柯立芝公式
另一個由柯立芝所證明的公式如下：

: K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}\,

其中p及q為四邊形對角線之長。在圓內接四邊形中，根據托勒密定理我們有pq=ac+bd，此公式退化回為婆羅摩笈多公式。

相關定理
海倫公式給出三角形的面積。它是婆羅摩笈多公式取d=0的特殊情形。

婆羅摩笈多公式的基本形式和擴充形式，就像由勾股定理擴充至餘弦定理一般。