艾森斯坦整数是具有以下形式的复数：
:z = a + b\omega \,\!
其中a和b是整数，且
:\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{\frac{2\pi i}{3}}
是三次单位根。艾森斯坦整数在复平面上形成了一个三角形点阵。高斯整数则形成了一个正方形点阵。
艾森斯坦整数环是仅有的九个由\mathbb Q(\sqrt D)~(D中的代数整数构成的主理想环之一。另外的八个分别是D=-1,-2,-7,-11,-19,-43,-67,-163。
性质
艾森斯坦整数在代数数域\mathbb{Q}(\omega)中形成了一个代数数的交换环。每一个z = a + b\omega都是首一多项式
:z^2 - (2a - b)z + (a^2 - ab + b^2). \,\!
的根。特别地，\omega满足以下方程：
:
因此，艾森斯坦整数是代数数。
艾森斯坦整数的范数是它的绝对值的平方，由以下的公式给出：
:|a+b\omega|^2 = a^2 - ab + b^2. \,\!
因此它总是整数。由于：
:4a^2-4ab+4b^2=(2a-b)^2+3b^2, \,\!
因此非零艾森斯坦整数的范数总是正数。
艾森斯坦整数环中的可逆元群，是复平面中六次单位根所组成的循环群。它们是：
:\{\pm 1, \pm\omega, \pm\omega^2\}
它们是范数为一的艾森斯坦整数。
艾森斯坦素数
设x和y是艾森斯坦整数，如果存在某个艾森斯坦整数z，使得y = z x，则我们说x能整除y。
它是整数的整除概念的延伸。因此我们也可以延伸素数的概念：一个非可逆元的艾森斯坦整数x是艾森斯坦素数，如果它唯一的因子是ux的形式，其中u是六次单位根的任何一个。
我们可以证明，任何一个被3除余1的素数都具有形式x^2-xy+y^2，因此可以分解为(x+\omega y)(x+\omega^2 y)。因为这样，它在艾森斯坦整数中不是素数。被3除余2的素数则不能分解为这种形式，因此它们也是艾森斯坦素数。
任何一个艾森斯坦整数a + b\omega，只要范数a^2-ab+b^2为素数，那么就是一个艾森斯坦素数。实际上，任何一个艾森斯坦整数要么就是这种形式，要么就是一个可逆元和一个被3除余2的素数的乘积。
欧几里德域
艾森斯坦整数环形成了一个欧几里德域，其范数N由以下的公式给出：
:N(a + b\,\omega) = a^2 - a b + b^2. \,\!
这是因为：
:\begin{align}N(a+b\,\omega)
&=|a+b\,\omega|^2\\
&=(a+b\,\omega)(a+b\,\bar\omega)\\
&=a^2 + ab(\omega+\bar\omega) + b^2\\
&=a^2 - ab + b^2\end{align}
参见
- 高斯整数
参考文献
*Bachmann, P. Allgemeine Arithmetik der Zahlkörper. p. 142.
*Cox, D. A. §4A in Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication. New York: Wiley, 1989.
*Guy, R. K. "Gaussian Primes. Eisenstein-Jacobi Primes." §A16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 33-36, 1994.
*Wagon, S. "Eisenstein Primes." §9.8 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 319-323, 1991.
外部链接
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