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虛數單位

Wikipedia · 2026-03-02 维基百科 👁 1 阅读

的位置。橫軸是實數，豎軸是虛數]]

在數學、物理及工程學裏，虛數單位是指二次方程x^2 + 1 = 0的解。虽然沒有這樣的实数可以滿足這個二次方程，但可以通過虛數單位将實數系統\mathbb{R}延伸至复数系統\mathbb{C}。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式x^2 + 1 = 0就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位通常標記為i，但在涉及电气、电机工程等电学相关领域时，则往往标记为j，这是为了避免与电流（记为i(t)或i）相混淆。

定義
虛數單位i定義為二次方程式x^2 + 1 = 0的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：
:。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號i。很重要的一點是，是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：
:

然而往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

:因為-1 = i\cdot i=\left(\sqrt{-1}\right)\times\left(\sqrt{-1}\right)=\sqrt{\left(-1\right)\times\left(-1\right)}=\sqrt{1}=1，但是-1不等於1。

:但請注意：\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}成立的條件有a,b不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設i是一個未知數，然後依照i的定義，替代任何i^2的出現為-1。i的更高整數冪數也可以替代為-i，1，或i，根據下述方程式：
:i^3 = i^2 i = (-1) i = -i，
:i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1，
:i^5 = i^4 i = (1) i = i。

一般地，有以下的公式：
:i^{4n} = 1
:i^{4n+1} = i
:i^{4n+2} = -1
:i^{4n+3} = -i
:i^n = i^{n \bmod 4}

其中\bmod 4表示被4除的余数。
補充定义
虚数单位 i 是复数域 \mathbb{C} 中的一个基本元素，其核心性质由以下等价方式之一定义：

代数定义
作为二次方程 x^2 + 1 = 0 的一个解。即，i 是满足方程
: i^2 = -1
的数。由于该方程在实数域 \mathbb{R} 内无解，引入 i 是构造更广的数系——复数域的关键步骤。

作为有序对
在复数严格的公理化构造中，复数定义为有序对 (a, b)，其中 a, b \in \mathbb{R}。在此框架下，虚数单位 i 被定义为有序对
: i := (0, 1)。
而复数的乘法规则定义为 (a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)。由此可验证：
: i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0\cdot0 - 1\cdot1, 0\cdot1 + 1\cdot0) = (-1, 0) = -1。
这一定义完全绕开了“负数的平方根”这一初始概念，从而在逻辑上更为基础。

和
方程x^2 = -1有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒數。更加确切地，一旦固定了方程的一个解i，那么-i（不等于i）也是一个解，由于这个方程是i的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为i，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然-i和i在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是i和-i之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

:-i^2 = 1
:-i = i^{-1} = \frac{1}{i}

正当的使用
虚数单位有时记为\sqrt{-1}。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}仅对于非负的实数a和b才成立。

假若這個關係在虚数仍成立，則會出現以下情況：
:-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1（不正确）
:-1 = i \cdot i = \pm \sqrt{-1} \cdot \pm \sqrt{-1} = \pm \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \pm \sqrt{1} = \pm 1（不正确）
:\frac{1}{i} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{-1} = i（不正确）

与主平方根的关系
在复数域中，“平方根”是一个多值函数。对于非负实数 a，符号 \sqrt{a} 通常指其唯一的非负实平方根（称为算术平方根或主平方根）。然而，对于负数或一般的复数，符号 \sqrt{z} 必须明确其分支的选择。通常，复数的主平方根函数定义为其辐角落在区间 (-\pi, \pi] 内的那个根。
在这种约定下，\sqrt{-1} 的主值是 i（而非 -i）。即便如此，涉及多个复数的主平方根的恒等式也普遍不成立。因此，在处理复数时，最安全且清晰的做法是直接使用符号 i 及其基本性质 i^2 = -1 进行计算，避免对负数直接应用根号运算法则。
i的运算
利用复数的运算规则和欧拉公式，可以对虚数单位 i 进行各种数学运算，包括平方根、幂、对数和三角函数。以下运算除特殊说明外，均为与 i 有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

基本运算与幂循环
虚数单位 i 的整数幂遵循一个周期为4的循环：
:\begin{align}
i^1 &= i, \\
i^2 &= -1, \\
i^3 &= -i, \\
i^4 &= 1,
\end{align}
一般地，对任意整数 n，有：
:i^n = i^{n \bmod 4}
其中 \bmod 4 表示被4除的余数。

平方根
i 的平方根为：
:\sqrt{i} = \pm \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i \right) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)
使用算术平方根符号表示其主值：
:\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)
其解法為先假設兩實數 x 及 y，使得 (x + iy)^2 = i，然后求解 x, y。

一般幂运算
利用欧拉公式 e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta，可以将虚数单位表示为指数形式：
:i = e^{i\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)}，其中 k \in \mathbb{Z} 为任意整数。

由此可推导出更一般的幂运算公式。设 a, b, c \in \mathbb{R}，且 a > 0，则有：

  • 以 i 为指数的幂（实数的虚数次幂）：

:a^{i} = e^{i \ln a} = \cos(\ln a) + i \sin(\ln a)
这是一个模为1的复数，其几何意义是在复平面上将点1旋转 \ln a 弧度。

  • 以虚数为指数的幂（实数底数的纯虚数次幂）：

:a^{b i} = e^{b i \ln a} = \cos(b \ln a) + i \sin(b \ln a)

  • 复数的复数次幂（最一般的情况）：

:a^{b + c i} = a^{b} \cdot a^{c i} = a^{b} \left[ \cos(c \ln a) + i \sin(c \ln a) \right]
此公式清晰地分离了结果在复平面上的伸缩因子 a^b 和旋转因子 a^{c i}。

  • 最为人熟知的特例：i 的 i 次幂

:i^i = \left[ e^{i (\frac{\pi}{2} + 2k \pi)} \right]^i = e^{i^2 (\frac{\pi}{2} + 2k \pi)} = e^{-(\frac{\pi}{2} + 2k \pi)}，k \in \mathbb{Z}
代入不同的 k 值，可計算出無限多的解。当 k = 0 時，得到其主值 e^{-\frac{\pi}{2}} \approx 0.207879576...

对数

  • 以 i 为底的对数：

对于正实数 x > 0，有：
:\log_i x = {{2 \ln x} \over i\pi} = -i \cdot \frac{2 \ln x}{\pi}（取主值）

  • 更一般地，对于正实数 a > 0 且 a \neq 1，以 i 为底的对数可由换底公式导出：

:\log_i a = \frac{\ln a}{\ln i} = \frac{\ln a}{i\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)} = -i \cdot \frac{2 \ln a}{(4k+1)\pi}， k \in \mathbb{Z}。
这是一个纯虚数，且由于 \ln i 的多值性，其结果也有无穷多个值。

三角与双曲函数
以下恒等式揭示了虚数单位如何联系三角函数与双曲函数，这是欧拉公式的直接推论。对于实数 x：
:\begin{align}
\cos(i x) &= \cosh x \\
\sin(i x) &= i \sinh x \\
\tan(i x) &= i \tanh x
\end{align}
这些公式表明，对虚自变量的三角函数求值，会转化为实自变量的双曲函数。

作为直接应用，可以计算：
:\cos i = \cosh 1 = {{e + \frac{1}{e}} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e} \approx 1.54308064...
:\sin i = i\sinh 1 = {{e - \frac{1}{e}} \over 2} i = {{e^2 - 1} \over 2e} i \approx (1.17520119...) i

在程式語言

  • 大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
  • 但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和複數的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和複數，如Python、Ruby。
  • 一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和複數。
  • 在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。
  • 在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。
  • 在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。
  • Go語言於第 1.0 版就内建虚数和複數的支持，變數類型為 complex64和complex128。

代码示例
以下是一些编程语言中定义虚数单位 i 及进行基本复数运算的方法：

註解
参见

  • 代數基本定理
  • 虚数
  • 复平面
  • 单位根
  • i

参考文献

  • Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

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外部链接

#複數 #代數數 #1

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