补集

在集合论和数学的其他分支中，存在-{zh-cn:补集; zh-tw:差集;}-的两种定义：-{zh-cn:相对补集; zh-tw:相對差集（差集）;}-和-{zh-cn:绝对补集; zh-tw:絕對差集（補集）;}-。

-{zh-cn:相对补集; zh-tw:相對差集;}-
若A和B是集合，则A在B中的-{zh-cn:相对补集; zh-tw:相對差集（簡稱差集）;}-是由所有属于B但不属于A的元素組成的集合。

A在B中的相对补集记为B \setminus A或B - A。

形式上：
:B \setminus A=\{x\in B \mid x\not\in A\}

例如：
:*\{1,2,3\} \setminus \{2,3,4\} = \{1\}
:*\{2,3,4\} \setminus \{1,2,3\} = \{4\}
:*若\R是实数集合，\Q是有理数集合，则\R \setminus \Q为无理数集合。

下列命题给出一些相对补集同并集和交集等集合论运算相关的一些常用性质。

命题1：若A,B,C是集合，则下列等式恒成立：
:*C \setminus (A\cap B)=(C \setminus A)\cup(C \setminus B)
:*C \setminus (A\cup B)=(C \setminus A)\cap(C \setminus B)
:*C \setminus (B \setminus A)=(A\cap C)\cup(C \setminus B)
:*(B \setminus A)\cap C=(B\cap C) \setminus A=B\cap(C \setminus A)
:*(B \setminus A)\cup C=(B\cup C) \setminus (A \setminus C)
:*A \setminus A = \varnothing
:*\varnothing \setminus A = \varnothing
:*A \setminus \varnothing = A

-{zh-cn:绝对补集; zh-tw:絕對差集;}-
若给定全集U，则A在U中的相对补集称为A的-{zh-cn:绝对补集（简称补集）; zh-tw:絕對差集（又稱為補集）;}-，记为A^{\complement}，即：
:A^{\complement} = U \setminus A

（注意：根据ISO与中华人民共和国国家标准，A中子集B的补集记作\complement_A B。）

例如，若全集为自然数集合，则奇数集合的补集为偶数集合。

下列命题给出一些绝对补集同并集和交集等集合论运算相关的一些重要性质。

命题2：若A和B是全集U的子集，则下列恒等式成立：
:德摩根定律：
::*(A\cup B)^{\complement} = A^{\complement}\cap B^{\complement}
::*(A\cap B)^{\complement} = A^{\complement}\cup B^{\complement}
:补集律：
::*A\cup A^{\complement} = U
::*A\cap A^{\complement} = \varnothing
::*\varnothing^{\complement} = U
::*U^{\complement} = \varnothing
:對合：
::*(A^{\complement})^{\complement} = A
:相对补集和绝对补集的关系：
::*A \setminus B=A \cap B^{\complement}
::*(A \setminus B)^{\complement}=A^{\complement} \cup B

上述表明，若A为U的非空子集，则{A,A^{\complement}}是U的一个分割。

补集的符号
补集的符号在Unicode中为数学运算符区段中的“∁”（Unicode：U+2201）。

参考文献
参见

• 集合代数
• 朴素集合论
• 对称差
• 布尔逻辑
• 交集
• 并集