三角形

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|schläfli = {3}（正三角形時）
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見#面積一節
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三角形，又稱三邊形，是由三条线段顺次首尾相连，或不共線的三點兩兩連接，所组成的一个闭合的平面几何图形，是最基本和最少邊的多边形。

一般用大写英语字母A、B和C为三角形的顶点标号；用小写英语字母a、b和c表示边；用\alpha、\beta和\gamma給角標號，又或者以\angle ABC這樣的顶点标号来表示。

分类
以角度分類
锐角三角形
銳角三角形的所有內角均為銳角。

钝角三角形
鈍角三角形是其中一角為鈍角的三角形，其余兩角均小於90°。

直角三角形
有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角邊」（cathetus），直角所对的边是「斜邊」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積（ch=ab）

三角函数
直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。

以邊長分類
不等邊三角形
三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。

等邊三角形
等邊三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。设其边长是 a ，则其面積公式為 \frac{a^2\sqrt3}{4} 。

等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個边长相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。
三角形的对边
对边是指一个角对面的那条边。比如∠A的对边就是BC，∠B的对边就是AC，∠C的对边就是AB。
对边测量是全站仪的一种专项测量功能，它可以间接测量两个不可通视点之间的水平距离。该方法设站灵活，操作简单，但它的测量精度没有标注，需要通过计算求得。

等腰三角形
等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」，而另一条边被称为「底边」，两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」，它们组成的角被称为「顶角」。

等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。

令其底边是 b ，腰是 a，则其面積公式為 \frac{1}{4}{b\sqrt{4a^2-b^2}}
等腰三角形的对应高，角平分线和中线重合。

退化三角形
退化三角形是指面積為零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

勒洛三角形
勒洛三角形（），也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師命名。

一般性质
三角不等式
*三角边長不等式
*:三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果兩者相等，则是退化三角形。
*三角內外角不等式
*:三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

角度
*三角形外角
*:三角形兩內角之和，等於第三角的外角。
*三角形內角和
*:在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於180°。

勾股定理
勾股定理，又稱畢氏定理或毕达哥拉斯定理。其斷言，若直角三角形的其中一邊 c 為斜邊，即 c 的對角 \gamma =90^\circ ，則
: a^2 + b^2 = c^2 。

勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足
: a^2 + b^2 = c^2 ，
則
:\gamma =90^\circ

正弦定理
設 R 为三角形外接圓半径，則
:\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}=2R

餘弦定理
對於任意三角形：
: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos\alpha,
: b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cdot\cos\beta,
: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos\gamma.
勾股定理是本定理的特殊情况，即当角 \alpha=90^\circ\, 时， \cos\alpha=0 ，于是 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos\alpha 化简为 a^2 = b^2 + c^2 。

全等及相似
全等三角形
三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。全等三角形的判斷準則有以下幾種：

• SSS（Side-Side-Side，邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
• SAS（Side-Angle-Side，邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等，且兩條邊夾著的角都對應地相等。
• ASA（Angle-Side-Angle，角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且兩個角夾著的邊都對應地相等。
• RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜邊、邊）：在直角三角形中，斜邊及一條直角邊對應地相等。
• AAS（Angle-Angle-Side，角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且其中一組對應角的對邊也對應地相等。

SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保证两个三角形全等，除非該角大於等於90°，此時可以保證全等。

相似三角形

• AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中兩個角的都對應地相等。（或稱AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））
• 三邊成比例（3 sides proportional）：各三角形的三條邊的長度都成同一比例。
• 兩邊成比例且夾角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的兩條邊之長度都成同一比例，且兩條邊之夾角都對應地相等。（或稱 2 sides proportional, inc. ∠ equal）

特殊線段
三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要對象。

• 中線（median）：三角形一边中点与这边所对頂点的连线段。
• 高线（altitude）：从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。
• 角平分线（angle bisector）：平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。
• 垂直平分線（perpendicular bisector）：通過三角形一边中点与該边所垂直的线段，又稱中垂线。

以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。

中线长度
设在\Delta ABC\,中，若三边a、b、c \,的中線分别为m_a、m_b、m_c，则：
: m_a = \sqrt{\frac{1}{2} b^2 + \frac{1}{2} c^2 - \frac{1}{4} a^2}
: m_b = \sqrt{\frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{2} c^2 - \frac{1}{4} b^2}
: m_c = \sqrt{\frac{1}{2} a^2 + \frac{1}{2} b^2 - \frac{1}{4} c^2}

高线长度
设在\Delta ABC\,中，連接三个顶点A、B、C上的高分別记作h_a、h_b、h_c，則：
:h_a=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}
:h_b=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{b}
:h_c=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{c}
其中 s=\frac{a+b+c}{2} 。

角平分线长度
设在\Delta ABC\,中，若三个角A、B、C的角平分线分别为t_a、t_b、t_c，则：
:t_a=\frac{1}{b+c}\sqrt{\left(b+c+a \right)\left(b+c-a \right)bc}

:t_b=\frac{1}{a+c}\sqrt{\left(a+c+b\right)\left(a+c-b \right)ac}

: t_c=\frac{1}{a+b}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(a+b-c \right)ab}

三角形的心
三角形的內心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)稱為三角形的四心，定義如下：

关于三角形的四心，有这样的一首诗：

垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能連成一線，且成比例1:2，稱為歐拉線，與九點圓的圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段的中點。

連同以下的旁心，合稱為三角形的五心：

外接圆和内切圆半径
設外接圆半径為R ， 内切圆半径為r ，則：

: R=\frac{abc}{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}=\frac{abc}{4 \triangle}

: r=\frac{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}{2 \left(a+b+c \right)}=\frac{\triangle}{s}
其中\triangle為三角形面積；s為三角形半周長，s=\frac{a+b+c}{2}

面積
基本公式
三角形的面積 A 是底邊 b 與高 h 乘積的一半，即：
:A=\frac{1}{2}bh，
其中的高是指底邊與對角的垂直距離。

從右圖可知，將兩個全等三角形相拼，可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補，正好能得到一個面積等於 bh 的長方形。因此原來的三角形面積為
:A=\frac{1}{2}bh。
證畢。

已知兩邊及其夾角
設 a b 為已知的兩邊， \gamma 為該兩邊的夾角，則三角形面積是：
:A=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}。

的定義表示。]]

觀察右圖，根據正弦的定義：
:\sin \gamma = \frac{h}{a}。

因此：
:h = a \sin \gamma 。

將此式代入基本公式，可得：
:A = \frac{1}{2} b (a \sin \gamma) = \frac{1}{2}ab\sin{\gamma}。

證畢。

已知兩角及其夾邊
\beta 、 \gamma 為已知的兩角， a 為該兩角的夾邊，則三角形面積是：
:A=\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin (\beta + \gamma)}。

從正弦定理可知：

:\begin{align}
\frac{b}{\sin \beta} & = \frac{a}{\sin \alpha} \\
b & = \frac{a \sin \beta}{\sin \alpha} \\
\end{align}

代入 A=\frac{1}{2}ab\sin \gamma ，得：

:A = \frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin \alpha}。

注意到\alpha + \beta + \gamma= 180^\circ，因此：
:\begin{align}
A & =\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin [180^\circ - (\beta + \gamma)]} \\
& =\frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin (\beta + \gamma)} \\
\end{align}

證畢。

已知三邊長
海倫公式，其表示形式為：
:A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}，
其中 s 等於三角形的半周長，即：
:s=\frac{a+b+c}{2}

秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：
:A = \sqrt{\frac{1}{4} {\left[c^2a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2\right]}}

也有用幂和来表示的公式：
:\begin{align}
A &= \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\
&= \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\
\end{align}

將海倫公式略為變形，知
:16 A^2=[(a+b)+c][(a+b)-c] \times [c+(a-b)][c-(a-b)]
多次使用平方-{}-差公式，得
:\begin{align}
16 A^2 &=[(a+b)^2-c^2] \times [c^2-(a-b)^2]\\
&=[2ab+(a^2+b^2-c^2)]\times[2ab-(a^2+b^2-c^2)]\\
&=(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2\\
&=4a^2b^2-(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2)\\
&=(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\\
&=2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\\
\end{align}
等號兩邊開根號，再同除以4，得
:\begin{align}
A &=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}\\
&=\frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}\\
\end{align}

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：
:16 \cdot A^2 =-
\begin{vmatrix}
0 & a^2 & b^2 & 1\\
a^2 & 0 & c^2 & 1\\
b^2 & c^2 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1 & 0\\
\end{vmatrix}

基於海伦公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設 a \ge b \ge c ，三角形面積為：
:A = \frac{1}{4} \sqrt{[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}。

設 a 、 b、c為三角形三條邊， \alpha 、 \beta 、 \gamma 為相應邊的對角。從餘弦定理可知：

:\cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

以畢氏三角恆等式可得：
:\sin \gamma = \sqrt{1-\cos^2 \gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}。

將此式代入A=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}，得：
:A = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}。

因式分解及簡化後可得：
:A = \frac{1}{4} \sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}

代入s=\frac{a+b+c}{2}，即可證畢。

已知坐标系中三顶点坐标
由 (x_1,y_1) 、 (x_2,y_2) 及 (x_3,y_3) 三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的絕對值表示：

:A = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \right|

无论三角形的顶点位置如何，该三角形总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示，而在直角坐标系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的顶点的坐标，该三角形的面积容易求出，即用上述的行列式表示。

若三個頂點設在三維坐標系上，即由 (x_1,y_1,z_1) 、 (x_2,y_2,z_2) 及 (x_3,y_3,z_3) 三个顶点构成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和，即：
:A = \frac{1}{2} \sqrt {\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}^2 +
\begin{vmatrix}y_1 & z_1 & 1 \\y_2 & z_2 & 1 \\y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix} ^2 +
\begin{vmatrix}z_1 & x_1 & 1 \\z_2 & x_2 & 1 \\z_3 & x_3 & 1 \end{vmatrix}^2 }

已知周界及內切圓或外接圓半徑
設三角形三邊邊長分別為 a 、 b 及 c ，三角形半周長（ \frac{a+b+c}{2} ）為 s ，內切圓半徑為 r，則：
:A = sr

若設外接圓半徑為 R ，則：
:A =\frac{abc}{4R}

內切圓半徑公式

根據右圖，設 \overline{AB} = c ， \overline{AC}=b ， \overline{BC} = a ，則三角形面積可表示為：
:\begin{align}
A & = \frac{1}{2} ar + \frac{1}{2} br + \frac{1}{2} cr \\
& = \frac{r(a+b+c)}{2} \\
& = rs
\end{align}

外接圓半徑公式

根據正弦定理：

:\begin{align}
\frac{c}{\sin \gamma} & = 2R \\
\sin \gamma & = \frac{c}{2R} \\
\end{align}

因此：

:\begin{align}
A & = \frac{1}{2}ab \sin \gamma \\
& = \frac{1}{2}ab \left( \frac{c}{2R} \right) \\
& = \frac{abc}{4R}
\end{align}

已知兩邊向量
設從一角出發，引出兩邊的向量為 \mathbf{a} 及 \mathbf{b} ，三角形的面積為：
: A = \frac{1}{2} |\mathbf{a} \times \mathbf{b} |

根據向量積定義， |\mathbf{a} \times \mathbf{b} | = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \gamma，
其中 \gamma 是兩支向量的夾角。

因此：
: \frac{1}{2} |\mathbf{a} \times \mathbf{b} | = \frac{1}{2} |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \gamma = A

證畢。

半角定理
在三角形 ABC\,中，三个角的半角的正切和三边有如下关系：
:
\begin{align}
\tan{\frac{A}{2}} & = \sqrt{\dfrac{(a+c-b)(a+b-c)}{(a+b+c)(b+c-a)}} \\

\tan{\frac{B}{2}} & = \sqrt{\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}} \\

\tan{\frac{C}{2}} & = \sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}} \\
\end{align}

以正弦及餘弦之比表示正切：
: \tan\frac{A}{2}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}}

因为

: \sin \frac{A}{2}>0

: \tan \frac{A}{2}>0

所以
: \sin \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1-\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}

:=\sqrt{ \frac{a^2-{\left(b-c\right)}^2 }{4bc}}

:=\sqrt{ \frac{\left(a+b-c\right) \left(a+c-b\right)}{4bc}}

而
: \cos \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1+\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}

:=\sqrt{ \frac{{\left(b+c\right)}^2-a^2 }{4bc}}

:=\sqrt{ \frac{\left(b+c+a\right) \left(b+c-a\right)}{4bc}}

所以
:
\begin{align}
\tan\frac{A}{2}&=\frac{\sin\frac{A}{2}}{\cos\frac{A}{2}}\\
&=\frac{\sqrt{\cfrac{(a+b-c)(a+c-b)}{4bc}}}{\sqrt{\cfrac{(b+c+a)(b+c-a)}{4bc}}}\\
&=\sqrt{\frac{(a+b-c)(a+c-b)}{(b+c+a)(b+c-a)}}
\end{align}

同理可得
: \tan \frac{B}{2}=\sqrt{\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}

: \tan \frac{C}{2}=\sqrt{\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}

其他有关三角形的定理

• 外角定理
• 拿破仑三角形
• 费马点
• 欧拉线
• 梅涅劳斯定理
• 樞紐定理
• 維維亞尼定理
• 莫雷角三分線定理

註釋
參考資料
參看

• 三角學
• 三-椭圆形