算术-几何平均数

两个正实数x和y的算术-几何平均数定义如下：

首先计算x和y算术平均数（相加平均），称其为a_1。然后计算x和y几何平均数（相乘平均），称其为g_1；这是xy的算术平方根。

:a_1 = \frac{x+y}{2}

:g_1 = \sqrt{xy}.

然后重复这个步骤，这样便得到了两个数列\{a_n\}和\{g_n\}：

:a_{n+1} = \frac{a_n + g_n}{2}

:g_{n+1} = \sqrt{a_n g_n}.

这两个数列收敛于相同的数，这个数称为x和y的算术-几何平均数，记为M(x,y)，或\mathrm{agm}(x,y)。

例子
欲计算a_0=24和g_0=6的算术-几何平均数，首先算出它们的算术平均数和几何平均数：

:a_1=\frac{24+6}{2}=15,

:g_1=\sqrt{24 \times 6}=\,

然后进行迭代：

:a_2=\frac{15+12}{2}=13.5,

:g_2=\sqrt{15 \times 12}=\, etc.

继续计算，可得出以下的值：

:

24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限，大约为13.45817148173。

性质
M(x,y)是一个介于x和y的算术平均数和几何平均数之间的数。

如果r>0，则M(rx, ry) = r M(x, y)。

M(x,y)还可以写为如下形式：

:\Mu(x,y) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{x + y}{K \left( \frac{x - y}{x + y} \right) }

其中K(x)是第一类完全椭圆积分。

1和\sqrt{2}的算术-几何平均数的倒数，称为高斯常数。

: \frac{1}{\Mu(1, \sqrt{2})} = G = 0.8346268\dots

存在性的证明
由算术几何不等式可得

:g_n \leqslant a_n

因此

:g_{n + 1} = \sqrt{g_n \cdot a_n} \geqslant \sqrt{g_n \cdot g_n} = g_n

这意味着 \{g_n\} 是不降序列。同时，因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间，又可以得到该序列是有上界的（x,y 中的较大者）。根据单调收敛定理，存在 g 使得:

:\lim_{n\to \infty}g_n = g

然而，我们又有:

:a_n = \frac{g_{n + 1}^2}{g_n}

从而:

:\lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to \infty}\frac{g_{n + 1}^2}{g_{n}} = \frac{g^2}{g} = g

证毕。

关于积分表达式的证明
该证明由高斯首次提出。
令

:I(x,y) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}},

将积分变量替换为 \theta', 其中

: \sin\theta = \frac{2x\sin\theta'}{(x+y)+(x-y)\sin^2\theta'},

于是可得

:
\begin{align}
I(x,y) &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\theta'}{\sqrt{\bigl(\frac{1}{2}(x+y)\bigr)^2\cos^2\theta'+\bigl(\sqrt{xy}\bigr)^2\sin^2\theta'}}\\
&= I\bigl(\frac12(x+y),\sqrt{xy}\bigr).
\end{align}

因此，我们有

:
\begin{align}
I(x,y) &= I(a_1, g_1) = I(a_2, g_2) = \cdots\\
&= I\bigl(M(x,y),M(x,y)\bigr) = \frac{\pi}{2M(x,y)}.
\end{align}

最后一个等式可由 I(z,z) = \frac{\pi}{2z} 推出。

于是我们便可得到算术几何平均数的积分表达式：

:M(x,y) = \frac{\pi}{2 I(x,y)}.

参考文献
引用
来源

• Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X

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参见

• 算术平均数
• 几何平均数