三角积分

三角积分是含有三角函数的一种积分。一些简单的含有三角函数的积分，可在三角函数积分表中找到。

正弦积分
有两种不同的正弦积分：

:{\rm Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt

:{\rm si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt

{\rm Si}(x)\,是\frac{\sin x}{x}\,的原函数，当x=0\,时为零；{\rm si}(x)\,是\frac{\sin x}{x}\,的原函数，当x=\infty时为零。我们有：
:{\rm si}(x) = {\rm Si}(x) - \frac{\pi}{2}

注意到\frac{\sin t}{t}是sinc函数，也是第零个球贝塞尔函数。

余弦积分
有两种不同的余弦积分：

:{\rm Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x\frac{\cos t-1}{t}\,dt

:{\rm ci}(x) = -\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt

:{\rm Cin}(x) = \int_0^x\frac{1-\cos t}{t}\,dt

其中\gamma是欧拉-马斯刻若尼常数.

{\rm ci}(x)\,是\frac{\cos x}{x}的原函数，当x \to \infty时为零。我们有：

:{\rm ci}(x)={\rm Ci}(x)\,
:{\rm Cin}(x)=\gamma+\ln x-{\rm Ci}(x)\,

双曲正弦积分
:{\rm Shi}(x) = \int_0^x\frac{\sinh t}{t}\,dt = {\rm shi}(x).

双曲余弦积分
:{\rm Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt = {\rm chi}(x)

展开式
有各种各样的展开式，可以用于计算三角积分。

渐近展开式
:{\rm Si}(x)=\frac{\pi}{2}

• \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right)
• \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)

:{\rm Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right)
-\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)

这些级数是发散的，但可以用来估计，甚至是精确计算三角积分。

收敛级数
:{\rm Si}(x)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots
:{\rm Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots

这些级数对于任何复数的~x~都是收敛的，但当|x|\gg 1时，计算非常缓慢，也不是很精确。

与指数积分的关系
函数
:
{\rm E}_1(z) = \int_1^\infty
\frac
{\exp(-zt)}
{t}
{\rm d} t
,~~({\rm Re}(z) \ge 0)

称为指数积分，与正弦和余弦积分有以下的关系：
:
{\rm E}_1( {\rm i}\!~ x) = i\left(-\frac{\pi}{2} + {\rm Si}(x)\right)-{\rm Ci}(x) = i~{\rm si}(x) - {\rm ci}(x) \qquad(x>0)

参见

• 指数积分
• 对数积分

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_228.htm （See Chapter 5）]

* [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_231.htm 第5.2节，正弦和余弦积分]*