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对数积分

Wikipedia · 2022-11-05 维基百科 👁 1 阅读

对数积分\operatorname{li}(x)是一个特殊函数。它出现在物理学的问题中，在数论中也有重要性，主要出現在與質數定理與黎曼猜想的相關理論之中。

积分表示法
对数积分有一个积分的表示法，对所有的正实数x\ne 1都有定义：

:\operatorname{li}(x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln (t)}

在这里，ln表示自然对数。函数1/ln (t)在t = 1处有一个奇点，当x > 1时，这个积分只能用柯西主值的概念来解释：

:\operatorname{li}(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{dt}{\ln (t)} + \int_{1+\varepsilon}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \right)

特殊值與欧拉对数积分
由於這個積分在x趨近於1時，值會趨近於負無窮大，有些數學家為了避免麻煩，常會選擇另外一個相似的定義，欧拉对数积分定义为：

:\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)

或

:\operatorname{Li}(x) = \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln t}

函数li(x)有一個正根，它出现在x ≈ 1.45136 92348 ...。这个数称为Ramanujan-Soldner常数。

:\operatorname{li}(2) = -(\Gamma\left(0,-\ln 2\right) + i\,\pi) \sim 1.04516 37801 17492 78484 45888 89194 613136 522615 578151

其中\Gamma\left(a,x\right)是不完全伽玛函数。

级数表示法
函数li(x)与指数积分Ei(x)有以下的关系：

:\hbox{li}(x)=\hbox{Ei}(\ln(x))

其中x > 1。这个等式提供了li(x)的一个级数表示法：

:\operatorname{li}(e^{u}) = \hbox{Ei}(u) =
\gamma + \ln u + \sum_{n=1}^{\infty} {u^{n}\over n \cdot n!}
\quad \text{for } u \ne 0

其中γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...是欧拉-马歇罗尼常数。一个收敛得更快的级数，是：

:
\operatorname{li}(x) = \gamma + \ln \ln x + \sqrt{x} \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} (\ln x)^n}{n! \; 2^{n-1}} \sum_{k = 0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{1}{2k+1}

渐近展开式
当x → ∞，函数有以下的渐进表现：

:\operatorname{li}(x) = \mathcal{O} \left( {x\over \ln (x)} \right)

其中\mathcal{O}是大O符号。完整的渐近展开式为：

:\operatorname{li}(x) = \frac{x}{\ln x} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k!}{(\ln x)^k}

或

:\frac{\operatorname{li}(x)}{x/\ln x} = 1 + \frac{1}{\ln x} + \frac{2}{(\ln x)^2} + \frac{6}{(\ln x)^3} + \cdots

注意，作为渐近展开式，这个级数是发散的：只有级数前面有限个项才是较好的估计。这个展开式可从指数积分的渐近展开式直接推出。

数论中的重要性
对数积分在数论中十分重要，出现在小于某个整数的素数个数的估计中。例如，質數定理表明：

:\pi(x)\sim\operatorname{Li}(x)

其中π(x)是小于或等于x的素数的个数。

参见

  • 指数积分
  • 三角积分

参考文献

#特殊函数 #特殊超几何函数 #对数 #积分

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