在数学中，對數（）是冪運算的逆運算。

定义
当x=\beta^y时，則有
:y=\log_\beta x\!

其中\beta是對數的底（也稱為基數），而 y就是x（对于底数\beta）的对数，x也称为真数。

底数\beta的值在实数范围内常取e、 10、2等，但一定不能是1或0

当x和\beta进一步限制为正实数的时候，对数是唯一的实数。
例如，因为
:3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3=81，
我们可以得出
:4=\log_3 81\!，
用日常语言说，即「81以3为底的对数是4」。 这个意思就是说，81是3的4次方。

历史
对数
15世纪时，法国数学家尼古拉·许凯和德国数学家在开展研究工作时产生了发展对数的思想，他们，尤其是后者，对等差数列和等比数列的关系作了一些研究。但他们并没有使其得到更进一步的发展。

一般认为对数于16世纪末至17世纪初期间由苏格兰数学家约翰·纳皮尔男爵和瑞士工程师约斯特·比尔吉发明。比尔吉曾担任过著名天文学家开普勒的助手，因此会经常接触到复杂的天文计算，他也因此产生了化简数值计算的想法。纳皮尔是一位苏格兰贵族，对数值的计算有很深的研究。为了找到简化球面三角计算的方法，他也产生了发展对数的想法。1614年，他在自己的书籍《奇妙的对数表的描述》上发布了自己的对数表，相較比尔吉早了6年。纳皮尔发明的纳皮尔算筹用加减法代替了乘除法，成功简化了乘除法的运算，他的对数被后人称为纳皮尔对数，记法为Nap·logx。此书称真数为“原数”，对数为“比例数”。而《数理精蕴》中则称作对数比例：“对数比例乃西士若往·纳白尔所作，以借数与真数对列成表，故名对数表。”中国因此普遍称之为“对数”。

对数对科学的进步有所贡献，特别是对天文学，使某些繁难的乘法计算转换为加法计算。在计算器和计算机发明之前，对数长期用于测量、航海、和其他应用数学分支中。

符号
对数符号\log出自拉丁文logarithmus，最早由1632年意大利数学家卡瓦列里所使用。纳皮尔在表示对数时套用logarithm整个词，并未作简化。1624年，开普勒才把对数符号简化为\log，奥特雷德在1647年也用简化了的Log。

1893年，皮亚诺用\ln x及\lg x分别表示以e为底的对数和以10为底的对数。1902年，等人以a \log . b表示以a为底的b的对数。

20世纪初，形成了对数的现代标准表示\log_\alpha\Nu，为了使用方便，自然对数\ln N的记法得到了普遍认可。

对数函数
函数\log_\alpha x依赖于\alpha和x二者，但是术语对数函数在标准用法中用来称呼形如\log_\alpha x的函数，在其中底数\alpha是固定的而只有一个參數\alpha。

对数函数图像和指数函数图像关于直线y=x对称，互为逆函数。

对数函数的性质有：

都过(1,0)点；

x=0即y軸為其垂直漸近線。

定义域为(0,+\infty)，值域为\mathbb{R}；

#\alpha >1，在(0,+\infty)上是增函数；1>\alpha>0时，在(0,+\infty)上是减函数。

當 0時和y=\alpha^x交於三點；e^{-e}時交於一點；1時交於兩點；\alpha=e^{\frac{1}{e}}時交於一點；\alpha>e^{\frac{1}{e}}時則無交點。

运算公式
有理和无理指数
如果n是自然數，{\beta}^n表示等于\beta的n个因子的乘积：

:{\beta}^n=\underbrace{\beta\times\beta\times\cdots\times\beta}_n。

但是，如果\beta是不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数n（参见幂）。类似的，对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数\beta，有一个对数函数和一个指数函数，它们互为反函数。

对数可以简化乘法运算为加法，除法为减法，幂运算为乘法，根运算为除法。所以，在发明电子计算机之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。

特殊底数
最常用做底数的是e、10和2。
在数学分析中，以e为底对数很常见。另一方面，以10为底对数在十进制表示法中，手工计算很容易：
:\log_{10} 10 x = \log_{10} 10 + \log_{10} x = 1 + \log_{10} x.\

所以\log_{10} x表示正整数x的位数：数字的十进制位数是严格大于\log_{10} x的最小的整数。例如\log_{10} 1430\approx 3.15，下一个整数是4，即1430的位数。

以2为底的对数常用于计算机科学，因为计算机中二进制很普及。当然上面的算法也可推广到二进制：严格大于\log_2 x的最小整数是x在二进制下的位数。事实上经由简单推导即可得知，floor(logpx)+1 得到x在p进制下的位数：若x在p进制下有n位，则p^{n-1}\leq x ；而p是不小于 2 的正整数导致以其为底的\log_p x是增函数，故三边取对数得n-1 \leq \log_p x ，取下整正好得到n-1。

下表列出了这些底数的常用的对数符号以及他们所使用的领域。许多学科都写\log (x)来代替\log_b (x)，而b的值根据前后文可以确定。记号^b\log(x)也出现过。“ISO表示法”（）一列指定了ISO推荐的表示方法。

底数变换
尽管有很多有用的恒等式，对计算器最重要的是找到不是建造于计算器内的底数（通常是\log_e和\log_{10}）的其他底数的对数。要使用其他底数\beta找到底数\alpha的对数:
:\log_\alpha x=\frac{\log_\beta x}{\log_\beta\alpha}。
此外，这个结果蕴涵了所有对数函数（任意底数）都是相互类似的。所以用计算器计算对134217728底数2的对数:
:\log_2134217728=\frac{\ln134217728}{\ln2}=\frac{27\ln2}{\ln2}=27。

对数的用途
对数对解幂是未知的方程是有用的。它们有简单的导数，所以它们经常用在解积分中。对数是三个相关的函数中的一个。在等式b^n=x中，b可以从x的n次方根，n从x的b底数的对数，x从b的n次的幂来确定。参见对数恒等式得到掌控对数函数的一些规则。

简便计算
对数把注意力从平常的数转移到了幂。只要使用相同的底数，就会使特定运算更容易：

这些关系使在两个数上的这种运算更快，

群论
从纯数学的观点来看，恒等式：
\log_\alpha\Mu\Nu=\log_\alpha\Mu+\log_\alpha\Nu\!，
在两种意义上是基本的。首先，其他3个算术性质可以从它得出。进一步的，它表达了在正实数的乘法群和所有实数的加法群之间的同构。

对数函数是从正实数的乘法群到实数的加法群的唯一连续同构。

复对数
复对数计算公式：

:\log_{c+di}(a+bi) =\frac{\ln\left(a^2+b^2\right)\cdot\ln\left(c^2+d^2\right)+4\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right) \left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right) +\left[2\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)\ln\left(c^2+d^2\right)-2\left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right]i}{\ln^2\left(c^2+d^2\right)+4\left(\arctan\frac{d}{c}+2n\pi\right)^2}

:(a+bi)^{\left(c+di\right)}=e^{\frac{c}{2}\ln\left(a^2+b^2\right)-\left(d+2n\pi\right)\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)}\left\{\cos \left[c\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)+\frac{1}{2}\left(d+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right] +i\sin\left[c\left(\arctan\frac{b}{a}+2k\pi\right)+\frac{1}{2}\left(d+2n\pi\right)\ln\left(a^2+b^2\right)\right]\right\}

:\begin{cases}
\arctan0={\pi}, & \mbox{for }a 0\!\, \\
\end{cases}

:\mathbb{Z}=\{k,n\}

微积分
自然对数函数的导数是
: \frac{\rm{d}} {{\rm{d}}x} \ln \left| x \right| = \frac{1}{x}。

通过应用换底规则，其他底数的导数是
: \frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x} \log_b x = \frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x} \frac {\ln x}{\ln b} = \frac{1}{x \ln b}。

自然对数\ln x\,的不定积分是
:\int \ln x \,{\rm{d}}x = x \ln x - x + C,

而其他底数对数的不定积分是
: \int \log_b x \,{\rm{d}}x = x \log_b x - \frac{x}{\ln b} + C = x \log_b \frac{x}{e} + C。

计算自然对数的级数
有一些级数用来计算自然对数。最简单和低效的是:
:\ln z=\sum_{n=1}^\infty\frac{-{(-1)}^n}{n}(z-1)^n当|z-1|。
下做推导：

由
:\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots。
在两边积分得到
:-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots
:\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\cdots。
设z=1-x\!并因此x=-(z-1)\!，得到
:\ln z=(z-1)-\frac{(z-1)^2}{2}+\frac{(z-1)^3}{3}-\frac{(z-1)^4}{4}+\cdots
更有效率的级数是基於反雙曲函數的
:\ln z=2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}
对带有正实部的z。

推导：代换-x为x，得到
:\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots。
做减法，得到
:\ln\frac{1+x}{1-x}=\ln(1+x)-\ln(1-x)=2x+2\frac{x^3}{3}+2\frac{x^5}{5}+\cdots。
设z=\frac{1+x}{1-x} \!并因此x = \frac{z-1}{z+1} \!，得到
:\ln z=2\left[\frac{z-1}{z+1}+\frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots\right]。

例如，应用这个级数于
:z=\frac{11}{9},
得到
:\frac{z-1}{z+1}=\frac{\frac{11}{9}-1}{\frac{11}{9}+1}=\frac{1}{10},
并因此
:\ln1.\dot{2}=\frac{1}{5}\left(1+\frac{1}{3\cdot100}+\frac{1}{5\cdot10000}+\frac{1}{7\cdot1000000}+\cdots\right)
:=0.2\cdot(1.0000000\dots+0.00\dot{3}+0.00002+0.000000\dot{1}4285\dot{7}+\cdots)
:=0.2\cdot1.00335\cdots=0.200670\cdots

在这里我们在第一行的总和中提出了因数\frac{1}{10}。

对于任何其他底数\beta，我们使用

:\log_\beta x=\frac{\ln x}{\ln\beta}。

计算机
多数计算机语言把\log(x)用做自然对数，而常用对数典型的指示为log10(x)。参数和返回值典型的是浮点数据类型。

因为参数是浮点数，可以有用的做如下考虑：

浮点数值x被表示为尾数m和指数n所形成的
: x = m2^n。

因此
: \ln(x) = \ln(m) + n\ln(2)。

所以，替代计算\ln(x)，我们计算对某个m的\ln(m)使得1\leq m \leq 2。有在这个范围内的m意味着值u = \frac{m - 1}{m+1}总是在范围0 \le u 内。某些机器使用在范围0.5 \le m 内的尾数，并且在这个情况下u的值将在范围-\frac13 内。在任何一种情况下，这个级数都是更容易计算的。

一般化
普通的正实数的对数一般化为负数和复数参数，尽管它是多值函数，需要终止在0上的分支切割，来制作一个普通函数或主分支。复数z的（底数e）的对数是复数\ln (\left \vert z \right \vert) + i \arg (z)，这裡的\left \vert z \right \vert是z的模，\arg (z)是辐角，而i是虚单位；详情参见复对数。

离散对数是在有限群理论中的相关概念。它涉及到解方程b^n=x，这裡的b和x是这个群的元素，而n是指定在群运算上的幂。对于某些有限群，据信离散对数是非常难计算的，而离散指数非常容易。这种不对称性可用于公开密钥加密。

矩阵对数是矩阵指数的反函数。

对于不等于1的每个正数b，函数\log_b(x)是从在乘法下的正实数的群到在加法下（所有）实数的群的同构。它们是唯一的连续的这种同构。对数函数可以扩展为在乘法下正实数的拓扑空间的哈尔测度。

对数表
表的一个实例。]]

在發明计算器之前，使用对数意味着查对数表，它必须手工建立。

参见

• 对数恒等式
• 自然对数
• 常用对数
• 离散对数
• 芮氏地震规模
• 分贝

注释
参考文献
外部链接
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• [https://web.archive.org/web/20121218200616/http://www.khanacademy.org/math/algebra/logarithms-tutorial Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures]

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