余数

在算术中，当两个整数相除的结果不能以整数商表示时，余数便是其“餘留下的量”。当余数为零时，被称为整除。

自然数的余数
如果 a 和 d 是两个自然数，d 非0，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r ，满足 a = qd+r 且 0 \leq r 。其中， q* 被称为商數， r 被称为余数。带余除法是一个关于如何计算余数的算法，其中提供了对此结果的证明。

例子

• 13除以10，商为1，余数为3，13 = 1 * 10 + 3或13 \div 10 = 1 \dots 3。
• 26除以4，商为6，余数为2，26 = 6 * 4 + 2或26 \div 4 = 6 \dots 2。
• 56除以7，商为8，余数为0，56 = 8 * 7 + 0或56 \div 7 = 8 \dots 0。
• 9除以10，商为0，余数为9，9 = 0 * 10 + 9或9 \div 10 = 0 \dots 9。

一般整数的余数
如果 a 与 d 是整数，d 非零，那么余数 r 满足这样的关系：

:a = qd+r , q 为整数，且0\leq \left \vert r \right \vert 。

当这样定义时，可能导致两种可能的余数。例如，除法式子\frac{-42}{-5}的可以表达为

:-42=9\times (-5)+3（在数学工作者中使用较多）

或

:-42=8\times (-5)+(-2).

即余数可能是3或−2。

这种对余数不明确的定义可能导致严重的计算问题，对于處理关键任务的系统，错误的选择会导致严重的后果。在一些組合語言系統中，會有特殊的除法指令，設定余数和被除數同號。

在上面的例子，负余数为正余数减5得来，5即是除数 d 。通常，当除以 d 时，如果正余数为r_1，负余数为r_2，那么

:r_2=r_1+d。

Python 2.7语言定义的除法中，不能整除的情况下，余数与除数同号，例如\frac{-42}{-5}表达为

:-42=8\times (-5)+(-2)

而 \frac{42}{-5} 则表达为

:42=(-9)\times (-5)+(-3)

实数的余数
当 a 和 d 是实数，且 d 非零，a 除以 d 会得到另一个实数（商），没有所谓的剩余的数.但如果要求商为一个整数，则余数的概念还是有必要的。可以证明：存在唯一的整数商 q 和唯一的实数r 使得：a = qd+r, 0\leq r 。在整数除法裡，余数可以要求为负，即满足关系：-\left \vert d \right \vert 。

如上在实数范围内扩展余数的定义在数学理论中并不重要；尽管如此，很多程序语言都实现了这个定义—参同餘。

参见
*整除
*中国剩余定理
*同余
*輾轉相除法