数列

数列（）是由数字組成的序列。另一種略為抽象的說法是——以正整數為定義域、值域是一個數系的函数。级数也是一種数列，不過它的每一項是另外一個數列的部份和。在微積分的教材中經常討論的数列是實數序列和實數級數。一般的「序列」则范围更广，可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列向量、一系列矩阵或一系列张量等等所组成。而在計算理論中，数列以及相关术语常用于有关递推规律的研究。

正式定義
由於最一般的數為複數，可以作如下的定義：
{{math theorem
|name=數列的定義
|math_statement=
一個 a:\N\to\C 的函數被稱為無窮數列，可記為 {\left\{
a_i
\right\}}_{i\in\N} 、 {\left\langle
a_i
\right\rangle}_{i\in\N} 或 {\left(
a_i
\right)}_{i\in\N} ，而 a(i) 會被簡記為 a_i 。

若 I_n =
\left\{
1,\,2,\,\cdots,\,n
\right\} ，則一個 a:I_n\to\C 的函數被稱為有限數列，可記為 {\left\{
a_k
\right\}}^{n}_{k=1} 、 {\left\langle
a_k
\right\rangle}^{n}_{k=1} 或 {\left(
a_k
\right)}^{n}_{k=1} 。
}}
在教學上常會如下標示有限數列，來增進對定義的直觀理解：

:\left \langle a_k \right \rangle_{k=1}^n= \left \langle a_1,\, a_2,\, a_3,\, \cdots ,\,a_n \right \rangle

以上表達式中的每一个数被称为这个数列的「项」。a_1 为数列的「第一项」、a_2 为「第二项」，以此類推。n 被稱為有限數列的項數。數列中的第一项常稱為「首項」，最后一项則称为「末项」。注意有限數列也可以設為 \left \langle a_k \right \rangle_{k=0}^n ，換句話說，把 0 包含在數列的定義域中，並以第零項 a_0 作為首項。無窮數列只有首項，沒有末項，但類似的，也可不将0包含在無窮數列的定義域中，讓無窮數列的首項為 a_1 。

由數列中各個項的和組成的數列稱為「級數」，換句話說

{{math theorem
| name = 級數的定義
| math_statement = 一個數列 {\left\{ a_i \right\}}_{i\in\N} 的級數是另外一個數列 {\left\{ s_i \right\}}_{i\in\N} ，具有以下特性：

• s_0 = a_0
• 對所有的 n\in\N 有 s_{n+1} = s_n + a_n

}}
一般會將 s_n 寫為 \sum^{n}_{i=0} a_i ，甚至更直觀的 a_0 + a_1 + \cdots + a_n 來凸顯級數源於求和的直觀概念。

級數的概念可以推廣至數列以外的序列，比如說函數序列的。

分類
單調性

• 若對所有 ， ，则称数列 为「递增数列」。把 換成 ，則稱為「嚴格遞增數列」。
• 若對所有 ， ，则称数列 为「递减数列」。把 換成 ，則稱為「嚴格遞减數列」。
• 若對所有 ， ，则称数列 为「常数数列」。

有限性

• 若數列 \left \langle a_k \right \rangle_{k=1}^n 的项数有限，則 为「有限数列」。
• 若數列 \left \langle a_k \right \rangle_{k=1}^\infty 的项数无限，則 为「无穷数列」。

有界性

• 若對所有 ， ，则称数列 为「有界数列」。 稱為「下界」， 稱為「上界」。
• 若對數列 ，上述的 、 不存在，则称数列 为「無界数列」。

收斂性與極限
收斂性是數列的一個重要性質。如果一個數列逐漸趨近於某一個值，就稱該數列為收斂數列，否則稱為發散數列。

簡單的說，一個數列\{x_n\}有極限，便是它的數列中的元素逐漸地越來越靠近L（稱為極限值），但是它們仍然任意得很靠近極限值L，而不一定恰好相等。

舉例來說：當 a_n=\frac{1}{n} 時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於0。當 a_n=5 - \frac{3n^2-9}{n^2+1}時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於2。

此外，值得注意的是，當一個數列有極限值時，它的極限值一定是唯一的。一般來說，當數列收斂，我們會記\lim_{n \to \infty }a_{n} = L。

收斂的嚴格定義
我們說一個實數數列\{a_n\}收斂於實數L；如果對任意的\epsilon>0 ，存在一個正整數N \in \N，使得對所有的n \geq N，有|a_{n}-L|。

重要的特殊数列

• 等差数列：是一种特殊数列。数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。

::例如数列1,3,5,7,9,\cdots,9995,9997,9999,\cdots。

::这就是一个等差数列，因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等，都等于2；9999与9997的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差，符号为d，并且d可为0。

::若設首項a_1 = a，則等差數列的通項公式為a_n=a_1+(n-1)d。

*多阶等差数列：又称高阶等差数列，中國则称之为“质数相关数列”。
::把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，如果这个新的数列是普通等差数列，原数列就称为二阶等差数列。
::由此类推，把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。
::普通等差数列可以视为一阶等差数列，因而常数数列实际就是零阶等差数列。
*等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

::例如数列2,4,8,16,32,\cdots,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots。

::这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，2^{198}与2^{197}的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为r。

::若設首項a_1 = a，則等比數列的通項公式為a_n=ar^{n-1}。

*斐波那契数列：是一种特殊数列。它的特点是：首兩項均是1，从第3项起，每一项均為前兩項的和。

::以數學符號表示，即a_1=a_2=1，且對於n\ge 3，a_n=a_{n-1}+a_{n-2}。

::斐波那契数列的通项公式為a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^n-\left({\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)^n\right]。

*質數數列：目前找不到規律的特殊數列，即：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,............
*正负相间：(-1)^n或(-1)^{n-1}
*隔项有零：\frac{1}{2} [(-1)^n+1]或\frac{1}{2} [(-1)^{n-1}+1]

数列的求和
通常对第1项到第n项求和，记为S_n=\sum_{k=1}^n a_k。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。

一个特殊数列求和：奇数数列。1，3，5，7，9，...。其和为项数n的平方。例如：1+3=22,1+3+5=32。

通项公式的求解
通常，从实际问题中会先得到一个递推关系式，但是可能会难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以需要求出这个数列的通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。并不存在一种通用的解法。求不出通项公式或只能进行估算的情形也可能出现。

数学归纳法
求出该数列的前数项，归纳其通项公式，然后用数学归纳法证明公式正确。

数学归纳法是最基本的方法，但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律，则不能使用此方法。

逐差全加
给定数列差d_n时逐差全加，例如：
:a_1=1，d_n=a_n-a_{n-1}=2n, 求a_n
:a_n=a_1+\sum_{k=2}^n d_k=n^2+n-1

逐商全乘
给定数列比r_n时逐差全乘，例如：
:a_1=1，r_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n}{n-1}，求a_n
:a_n=a_1\prod_{k=2}^n r_k=n

从和式求通项
如果已知数列和的公式，那么通项的求解非常容易。由S_n=\sum_{k=1}^n a_n可知S_n-S_{n-1}=a_n

把S_n看成一个数列，可以先对S_n进行求解，然后得出a_n。

换元法
换元法用于从形式上简化表达式，以突出问题的本质。换元法一般不单独使用，而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法，还有用得很少的双曲函数换元法。

不动点法
对于形如齐次分式的递推关系，可利用不动点来推导。

已知Aa_{n+1}+Ba_n+C=0，其中A、B、C都是常数，求a_n。

求这类数列的通项公式，一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。

• 如果A\ne-B，那么这个式子就可以化成下面的形式：

A(a_{n+1}+k)=-B(a_n+k)。

求出k，那么数列{a_n+k}就是一个等比数列，从而求出通项公式。

• 如果A=-B，这个递推关系就不能化为等比数列。如果A=-B，那么它就是等差数列。另外，当A=B的时候，它是一个等和数列。从这个问题我们可以看到，等和数列也可以化成一个等比数列。
• 除此之外也可以这样将之化成等比数列：

Aa_{n+1}+Ba_n+C=0

Aa_n+Ba_{n-1}+C=0

两边相减就有：A(a_{n+1}-a_n)+B(a_n-a_{n-1})=0，如此就化成了一个等比数列。

已知Aa_{n+1}+Ba_n+Ca_{n-1}+D=0,其中A、B、C、D都为常数，求a_n；

与上述数列一样，它们一定可以化成下面的形式：

Aa_{n+1}+Ea_n=k(Aa_n+Ea_{n-1})-D

求出对应系数，于是就转化成了前面那种形式，然后就可以求出数列{Aa_n+Ea_{n-1}}的通项公式，然后求出a_n的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。

其它方法
其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法，这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简，与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。

在其他數學領域的使用
拓樸
分析
線性代數
抽象代數
参见

• 整数数列线上大全 (OEIS)

参考资料