单位双曲线

在几何学中，单位双曲线是指笛卡尔平面上满足隐函数 x^2 - y^2 = 1 的点的集合或满足 y^2 - x^2 = 1 的点的集合（互为共轭）. 单位双曲线属于等轴双曲线，有渐近线 y=x 和 y= - x，离心率等于 \sqrt{2}.

渐近线
通常，曲线的渐近线是指曲线收敛到的直线。在代数几何和代数曲线理论中，引入了射影平面，此时渐近线是指在无穷远处与曲线相切的线.
:等轴双曲线f = x^2 - y^2 -1在ℝ²中相应的投影曲线是F = x^2 - y^2 - z^2，与z = 0交于点P = (1 : 1 : 0)和Q = (1 : −1 : 0). P和Q都在F上，有切线x + y = 0, x − y = 0，即我们熟悉的初等几何中的渐近线.

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参数化
参数化单位双曲线的直接方法之一是利用双曲线xy = 1可以用指数函数：( e^t, \ e^{-t})参数化的特点.

这一双曲线可以通过具有矩阵 A = \tfrac {1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} 的线性映射映射到单位双曲线.

: (e^t, \ e^{-t}) \ A = (\frac{e^t + e^{-t}}{2},\ \frac{e^t - e^{-t}}{2}) = (\cosh t,\ \sinh t).

参数t是双曲角度参数，即双曲函数的参量.

参考文献