化圓為方

化圓為方是古希臘数学里尺規作圖领域當中的命題，和三等分角、倍立方問題被並列為尺规作图三大难题。其問題為：求一正方形，其面積等於一給定圓的面積。如果尺规能够化圆为方，那么必然能够从单位长度出发，用尺规作出长度为\pi的线段。

进入十九世纪后，随着群论和域论的发展，数学家对三大难题有了本质性的了解。尺规作图问题可以归结为判定某些数是否满足特定的条件，满足条件的数也被称为规矩数。所有规矩数都是代数数。而1882年，数学家费迪南德·冯·林德曼證明了\pi為超越數，因此也證實該問題僅用尺規是無法完成的。

如果放寬尺规作图的限制或允许使用其他工具，化圆为方的問題是可行的。如借助西皮阿斯的，阿基米德螺線等。

背景简介
尺规作图法
在叙述化圆为方问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是

林德曼证明\pi的超越性用到了现在称为林德曼－魏尔斯特拉斯定理的结论。林德曼－魏尔斯特拉斯定理说明，如果若干个代数数z_1, z_2, \cdots , z_n在有理数域\mathbb{Q}上线性独立，那么e^{z_1}, e^{z_2}, \cdots , e^{z_n}也在\mathbb{Q}上线性独立。反设\pi是代数数，那么\pi i也是代数数。考虑代数数0和\pi i，由于\pi i是无理数，所以它们在\mathbb{Q}上线性独立。然而e^{0}和e^{\pi i}分别是1和-1，并非在\mathbb{Q}上线性独立，矛盾。这说明\pi不是代数数，而是超越数。

参考来源
另见

• 印第安纳圆周率法案

外部連結

• [http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol6no6b.htm HPM 通訊第6卷第6期, 3大作圖題] 介紹如何使用其他曲線（或幾何特性）再加上尺規作圖，來求解化圓為方問題。