在數論中卡羅爾質數（Carol number）是可以用4^n - 2^{n + 1} - 1或(2^n - 1)^2 - 2表示的质数，其中 n \geq 1。這類形式的數字最早由克萊圖斯·埃馬紐埃爾（Cletus Emmanuel）開始研究，並以其朋友卡羅爾·基蒙（Carol G. Kimon）的名字命名。這些數字最早是由克萊斯圖斯·伊曼紐爾（Cletus Emmanuel）研究，他以以朋友卡羅爾·基農（Carol G. Kirnon）的名字命名。
前幾個卡羅爾數是：-1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, 1046527, 4190207, 16769023, 67092479, 268402687, 1073676287, 4294836223, 17179607039, 68718952447, 274876858367, 1099509530623, 4398042316799, 17592177655807, 70368727400447, 281474943156223, 1125899839733759 。
二進制表示式
在 n>2 時，第 n 個卡羅爾數在二進制下，可以表示為 n-2 個連續的1，中間一個零，n+1 個連續的1，或者可以表示如下：
:\sum_{i \ne n + 2}^{2n} 2^{i - 1}.
例如，47的二進制為101111，223的二進制是11011111，第2n個梅森數和第 n 個卡羅爾數的間的差是2^{n + 1}，因此可得卡羅爾數的另一個等效表示式(2^{2n} - 1) - 2^{n + 1}。第 n 個凱尼亞質數會比第 n 個卡羅爾質數多2的n+2次方。
例子
- 前幾個卡羅爾數如下：a(n) = (2^n-1)^2 - 2.
:: -1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, 4190207, 16769023, 67092479, 268402687, 1073676287, 4294836223, 17179607039, 68718952447, 274876858367, 1099509530623, 4398042316799, 17592177655807, 70368727400447, 281474943156223, 1125899839733759, …
::
- 前幾個卡羅爾質數如下：
:: 7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087, …
::
: 它們被稱為卡羅爾質數。
- 第七個卡羅爾數 16127 同時是第五個卡羅爾質數，且將其數字反轉後（即 72161）仍為質數。
: 這種數字被稱為卡羅爾艾普斯隆質數（Carol-Mirpzahl）。
: 目前已知僅有兩個卡羅爾艾普斯隆質數：
:: 16127, 16769023
- 目前已知最大的卡羅爾質數是 (2^{695631}-1)^2-2，共有 418812 位數。 它是由馬克·羅登克希（Mark Rodenkirch）於 2016 年 7月16日使用 CKSieve 和 PrimeFormGW 程式發現的。這是第 44 個卡羅爾質數。
特性
- 對於所有 n>2，形式為 (2^n-1)^2-2 的卡羅爾數，其二進制表示長度為 2n 位，開頭為 n-2 個「1」，中間有一個「0」，最後以 n+1 個「1」結尾。換句話說：
: (2^n-1)^2-2 = \sum_{i=1 \atop i \not= n+2}^{2n} 2^{i-1}
:: 範例：
::: 223=(2^4-1)^2-2= \underline{1} \cdot 2^7+\underline{1} \cdot 2^6+\underline{0} \cdot 2^5+\underline{1} \cdot 2^4+\underline{1} \cdot 2^3+\underline{1} \cdot 2^2+\underline{1} \cdot 2^1+\underline{1} \cdot 2^0=11011111_2
- 第 2n 個梅森數（即 2^{2n}-1）與第 n 個卡羅爾數之間的差值為 2^{n+1}。
:: 因此，卡羅爾數也可以定義為 (2^{2n}-1)-2^{n+1}。
- 第 n 個凱尼亞數 (2^n+1)^2-2 與第 n 個卡羅爾數之間的差值為 2^{n+2}。
- 如果從卡羅爾數 7 開始計數，每隔兩個（即每第三個）卡羅爾數就是 7 的倍數。
:: 範例：
::: 65023=(2^8-1)^2-2 是繼 7 之後出現的第六個卡羅爾數，且 65023=9289 \cdot 7 確實是 7 的倍數。
- 當 n=3k+2（其中 k>0）時，卡羅爾數 (2^n-1)^2-2 不可能是質數。
: （此結論直接推導自上述關於 7 的倍數之特性）
推廣
以 b 為底的廣義卡羅爾數（generalized Carol number to base b）是指形式為 (b^n-1)^2-2 的數，其中 n \geq 1 且底數 b \geq 2。
特性
- 底數為 b \geq 4 的廣義卡羅爾數，只有當 b 為偶數時才可能是質數。
:: （若 b 為奇數，則其任何次方 b^n 亦為奇數。減去 1 後變為偶數，該數的平方仍為偶數，再減去 2 後依舊是偶數，因此在 b \geq 4 的情況下絕對不會是質數。由此可同時證明本項與下一項特性。）
- 若底數 b 為奇數，則廣義卡羅爾數恆為偶數。
- 以 b^n 為底數的廣義卡羅爾數，同時也是以 b 為底數的廣義卡羅爾數。
- 使 ((2k)^n-1)^2-2 為質數（即底數 b = 2k）的最小 n \geq 1 分別如下（針對 k = 1, 2, 3, 4, \ldots, 100）：
:: 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 159, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 12, 1, 1, 2, 9, 1, 88, 2, 1, 1, 12, 4, 1, 1, 183, 1, 1, 320, 24, 4, 3, 2, 1, 3, 1, 5, 2, 4, 2, 1, 2, 1, 705, 2, 3, 29, 1, 1, 1, 4836, 20, 1, 135, 1, 4, 1, 6, 1, 15, 3912, 1, 2, 8, 3, 24, 1, 14, 4, 1, 2, 321, 11, 1, 174, 1, 6, 1, 42, 310, 1, 2, 27, 2, 1, 29, 3, 103, 20, …
:: 範例：
::: 對於 k=3，可以從上述列表的第 3 個位置得知 n=6。
::: 事實上，((2 \cdot 3)^6-1)^2-2=2176689023 \in \mathbb P 是一個質數。
下表列出了以 b 為底的最小廣義卡羅爾質數：
目前已知最大的廣義卡羅爾質數為 (290^{124116}-1)^2-2，共有 611246 位數。 該數字由卡斯滕·博納斯（Karsten Bonath）於 2019 年 3 月 1 日發現。它是該底數下的第三個凱尼亞質數。
最小的諾迪質數如下：
: 0, 1, 2, 6, 10, 16, 48, 70, 1196, 3958, 57096, 59556, 62440, 70362, … ()
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外部連結
*
- Mark Rodenkirch, Gary Barnes, Karsten Bonath: [https://www.rieselprime.de/Others/CarolKynea.htm Carol and Kynea Prime Search.]
- [https://harvey563.tripod.com/Carol_Kynea.txt Carol- und Kynea-Primzahlen]
參考文獻
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