迹不等式

在数学中，有很多关于希尔伯特空间上的矩阵和线性算子的不等式。而迹不等式就是与矩阵的迹有关的算子不等式。

基本定义
令Hn表示n×n埃尔米特矩阵空间， Hn+表示全体n×n半正定埃尔米特矩阵，Hn++表示全体n×n正定埃尔米特矩阵。对于无限维希尔伯特空间上的算子，则需要迹类算子或埃尔米特算子，简单起见，此处我们只讨论矩阵。

对于任意实值函数 上的一个区间 ⊂ℝ，通过在特征值上定义函数和相应投影乘积，可以在任意特征值 在的算子上定义 矩阵函数 如下：

: f(A)\equiv \sum_j f(\lambda_j)P_j ~, 假设有谱分解 A=\sum_j\lambda_j P_j.

算子的单调性
定义在区间 ⊂ℝ上的函数 是算子单调的 ，如果对于∀，∀ 且特征值在 中，有，

: A \geq B \Rightarrow f(A) \geq f(B),

这里 表示 ，即是半正定的。 注意， 不是 算子单调的!

算子的凹凸性
函数 f: I \rightarrow \mathbb{R} 是 算子凸的 如果对任意 n 和任意 与特征值在 的一对矩阵，在 0 时有

:
f(\lambda A + (1-\lambda)B) \leq \lambda f(A) + (1 -\lambda)f(B) .

由于 A 和 B 有的特征值在 中，注意矩阵 \lambda A + (1-\lambda)B 特征值也在 I中。

函数 f 是 算子凹的 如果 -f 是算子凸的，即上面关于 f 不等式的符号反过来也成立。

联合凸性
定义在区间 I,J\subset \mathbb{R} 上的函数g: I\times J \rightarrow \mathbb{R}是 联合凸的 ，如果对任意 n 和任意A_1, A_2\in \mathbf{H}_n 且特征值在 I 中，和任意 B_1,B_2\in \mathbf{H}_n 且特征值在 J中，在 0\leq \lambda\leq 1 时有

:
g(\lambda A_1 + (1-\lambda)A_2,\lambda B_1 + (1-\lambda)B_2 ) \leq \lambda g(A_1, B_1) + (1 -\lambda)g(A_2, B_2).

一个功能 是 如果 是联合凸，即不平等以上为 是相反的。

函数 是 算子联合凹的 如果 − 是联合凸的，即上面关于 不等式符号反过来成立。

迹函数
给定函数 :ℝ→ℝ，相应地可在 Hn 上定义 迹函数

: A\mapsto \operatorname{Tr} f(A)=\sum_j f(\lambda_j),

其中 有特征值 ，Tr表示算子的 迹 。

迹函数的凸性和单调性
设 :ℝ→ℝ连续， 是任意整数。 若 t\mapsto f(t) 是单调递增的，则迹函数 A \mapsto \operatorname{Tr} f(A) 在 Hn上也是单调递增的。

类似，如果 t \mapsto f(t) 是 凸的，则迹函数A \mapsto \operatorname{Tr} f(A) 在 Hn上也是凸的，它是严格凸的如果 严格凸。

证明和讨论可参考 中。

參考文獻