垂直軸定理

在物理學裏，垂直軸定理（也叫“正交轴定理”）可以用來計算一片薄片的轉動慣量。思考一個直角座標系，其中兩個座標軸都包含與平行於此薄片；如果已知此薄片對於這兩個座標軸的轉動慣量，則垂直軸定則可以用來計算薄片對於第三個座標軸的轉動慣量。

假設OXYZ座標系統的 X-軸與 Y-軸都包含與平行於此薄片，而 Z-軸垂直於薄片的面。I_X\,\! 與 I_Y\,\! 分別代表薄片對於 X-軸與 Y-軸的轉動慣量．那麼，薄片對於 Z-軸的轉動慣量為
:I_Z=I_X+I_Y\,\! 。

垂直軸定理、平行軸定理、與伸展定則可以用來計算許多不同形狀的物體的轉動慣量。

導引
任何實際存在的剛體都有厚度；不可能有零厚度的剛體。參考右圖，假設這剛體是一塊很薄的薄片，厚度 t\,\! 是均勻的，密度也是均勻的。設定薄片的面與 XY-面共平面。那麼，剛體對於 X-軸、Y-軸、與 Z-軸的轉動慣量分別為
:I_X=\int (y^2+z^2)\;dm\,\! 、
:I_Y=\int (x^2+z^2)\;dm\,\! 、
:I_Z=\int (x^2+y^2)\;dm\,\! 。

由於厚度超小於薄片的面尺寸，我們可以忽略 z^2\,\! 對於積分的貢獻．因此，
:I_X\approx\int y^2\;dm\,\! 、
:I_Y\approx\int x^2\;dm\,\! 。

所以，
:I_Z=I_X+I_Y\,\! 。

實例
a) 如右圖，一個半徑為 r\,\!，質量為 m\,\! 的薄圓盤，對於 Z-軸的轉動慣量為
:I_Z=\frac{1}{2}mr^2\,\! 。

所以，對於X-軸與 Y-軸的轉動慣量是
:I_X=I_Y=\frac{I_Z}{2}=\frac{1}{4}mr^2\,\! 。

b) 如右圖，一個尺寸為 a\times b\,\!，質量為 m\,\! 的長方形薄片,對於 X-軸、Y-軸、與 Z-軸的轉動慣量分別為
:I_X=\frac{1}{12}ma^2\,\! 、
:I_Y=\frac{1}{12}mb^2\,\! 、
:I_Z=\frac{1}{12}m(a^2+b^2)\,\! 。
很明顯地，
:I_Z=I_X+I_Y\,\! 。

参考文献
*

參閱

• 轉動慣量列表
• 平行轴定理