平行軸定理

平行軸定理（英語：parallel axis theorem）能夠很簡易地，從剛體對於一支通過質心的直軸（質心軸）的轉動慣量，計算出剛體對平行於質心軸的另外一支直軸的轉動慣量。

讓 I_{C}\,\! 代表剛體對於質心軸的轉動慣量、M\,\! 代表剛體的質量、d\,\! 代表另外一支直軸 z'-軸與質心軸的垂直距離。那麼，對於 z'-軸的轉動慣量是
:I_{z'}=I_{C}+Md^2\,\! 。

平行軸定理、垂直軸定理、伸展定則，這些工具都可以用來求得許多不同形狀的物體的轉動慣量。

平行軸定理也可以應用於截面二次軸矩（面積慣性矩）：
:I_z = I_x + Ad^2\,\! ；

這裏，I_z\,\! 是對於 z-軸的面積慣性矩、I_x\,\! 是對於平面質心軸的面積慣性矩、A\,\! 是面積、d\,\! 是 z-軸與質心軸的垂直距離。

因雅各·史丹納 () 而命名，史丹納定理所指的幾個理論，其中一個理論就是平行軸定理。

進階理論
平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量，轉換至另外一個平行的座標系統。

對於三維空間中任意一参考點 Q 與以此参考點為原點的直角座標系 Qxyz ，一個剛體的慣性張量 \mathbf{I}\,\! 是
:\mathbf{I} = \begin{bmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}\end{bmatrix}\,\! 。

這裏，對角元素 I_{xx}\,\! 、I_{yy}\,\! 、I_{zz}\,\! 分別為對於 x-軸、y-軸、z-軸的慣性矩。設定 (x,\ y,\ z)\,\! 為微小質量 dm\,\! 對於點 Q 的相對位置。則這些慣性矩，可以精簡地用方程式定義為
:I_{xx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ y^2+z^2\ dm\,\! ，
:I_{yy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ x^2+z^2\ dm\,\! ，
:I_{zz}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ x^2+y^2\ dm\,\! 。

而非對角元素，稱為慣性積, 可以定義為
:I_{xy}=I_{yx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xy\ dm\,\! ，
:I_{xz}=I_{zx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xz\ dm\,\! ，
:I_{yz}=I_{zy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ yz\ dm\,\! 。

假若已知剛體對於質心 G 的慣性張量 \mathbf{I}_G\,\! ，質心 G 的位置是 (\bar{x},\ \bar{y},\ \bar{z})\,\! ，則剛體對於原點 O 的慣性張量 \mathbf{I}\,\! ，依照平行軸定理，可以表述為
:I_{xx}=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\,\! ，
:I_{yy}=I_{G,yy}+m(\bar{x}^2+\bar{z}^2)\,\! ，
:I_{zz}=I_{G,zz}+m(\bar{x}^2+\bar{y}^2)\,\! ，

:I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\,\! ，
:I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz} - m\bar{x}\bar{z}\,\! ，
:I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz} - m\bar{y}\bar{z}\,\! 。

證明：

a) 參考右圖 ，讓 (x\,',\ y\,',\ z\,')\,\! 、(x,\ y,\ z)\,\! 分別為微小質量 dm\,\! 對質心 G 與原點 O 的相對位置：
:y=y\,'+\bar{y}\,\! ，z=z\,'+\bar{z}\,\! 。

依照慣性張量的慣性矩定義方程式，
:I_{G,xx}=\int\ y\,'\,^2+z\,'\,^2\ dm\,\! ，
:I_{xx}=\int\ y^2+z^2\ dm\,\! 。

所以，
:\begin{align}
I_{xx}&=\int\ (y\,'+\bar{y})^2+(z\,'+\bar{z})^2\ dm\\
&=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\ . \\
\end{align}\,\!

相似地，可以求得 I_{yy}\,\! 、I_{zz}\,\! 的方程式。

b) 依照慣性張量的慣性積定義方程式 ，
:I_{G,xy}= - \int\ x\,'y\,'\ dm\,\! ，
:I_{xy}= - \int\ xy\ dm\,\! 。

因為 x=x\,'+\bar{x}\,\! ，y=y\,'+\bar{y}\,\! ，所以
:\begin{align}
I_{xy}&= - \int\ (x\,'+\bar{x})(y\,'+\bar{y})\ dm \\
&=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\ . \\
\end{align}\,\!
相似地，可以求得對於點 O 的其他慣性積方程式。

實例
思考一個實心長方體對於質心 G 的慣性張量，
:I_G =\begin{bmatrix}
\frac{1}{12} m (w^2 + h^2) & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{12} m (h^2 + d^2) & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{12} m (w^2 + d^2)\end{bmatrix}\,\!

如圖右，質心 G 的位置是 \left(\frac{d}{2},\ \frac{w}{2},\ \frac{h}{2}\right)\,\! 。依照平行軸定理，實心長方體對於點 O 的慣性矩與慣性積分別為

:I_{xx} =\frac{1}{12} m (w^2 + h^2) +m \left(\left(\frac{w}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2\right)\,\! 、
:I_{yy} =\frac{1}{12} m (h^2 + d^2) +m \left(\left(\frac{h}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\right)\,\! 、
:I_{zz} =\frac{1}{12} m (w^2 + d^2) +m \left(\left(\frac{w}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\right)\,\! 、

:I_{xy}= - m\left(\frac{w}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right)= - \frac{mwd}{4} \,\! 、
:I_{xz}= - m\left(\frac{h}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right)= - \frac{mhd}{4} \,\! 、
:I_{yz}= - m\left(\frac{w}{2}\right)\left(\frac{h}{2}\right)= - \frac{mwh}{4} \,\! 。

因此，實心長方體對於點 O 的慣性張量是
:I_G =\begin{bmatrix}
\frac{1}{3} m (w^2 + h^2) & - \frac{1}{4}mwd & - \frac{1}{4}mhd \\

• \frac{1}{4}mwd & \frac{1}{3} m (h^2 + d^2) & - \frac{1}{4}mwh \\
• \frac{1}{4}mhd & - \frac{1}{4}mwh & \frac{1}{3} m (w^2 + d^2)\end{bmatrix}\,\!

參閱
*轉動慣量列表
*垂直轴定理

參考文獻
*Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 0-07-230492-8

外部連結
*[https://web.archive.org/web/20090408201847/http://elearning.stut.edu.tw/mechanical/Dynamics/ch21/main21-1.htm 南台科技大學高職教師進修網站 ]

Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème d'Huygens ou théorème de Steiner)