中線定理

中線定理，又稱阿波羅尼奧斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形兩邊和中線長度關係。它等價於平行四邊形恆等式。

中線定理
對任意三角形\triangle ABC，設I是線段\overline{BC}的中點，\overline{AI}為中線，則有如下關係：

\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = 2\overline{BI}^2 + 2\overline{AI}^2\,

證明
用萊布尼茨標量函數約簡，可以容易導出這性質：只需要在兩個平方中引入I：
: |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 =\left |\vec{AI} + \vec{IB}\right |^2 + \left |\vec{AI} +\vec{IC}\right |^2
得出
: |\vec{AB}|^2+ |\vec{AC}|^2 = |\vec{AI}|^2 + |\vec{IB}|^2 + 2\vec{AI}\cdot\vec{IB} + |\vec{AI}|^2 + |\vec{IC}|^2 + 2\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{IC}
I是BC的中點，因此\overrightarrow{IB}和\overrightarrow{IC}相反，可知式中兩個標積抵消。又因\overline{IC} = \overline{IB}，得出
: \overline{AB}^2+ \overline{AC}^2 = 2\overline{AI}^2 + 2\overline{IB}^2 \,

另一個證法
這可能是阿波罗尼奥斯的證明方法，因為他不知道萊布尼茨函數。證明如下：
設H是從A到BC的垂足，則\triangle BHA和\triangle AHC是直角三角形。用勾股定理可得
: \overline{AB}^2 = \overline{BH}^2 + \overline{AH}^2\,
: \overline{AC}^2 = \overline{AH}^2 + \overline{HC}^2 \,
: \overline{AI}^2 = \overline{IH}^2 + \overline{AH}^2\,
所以
: \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline{BH}^2 + 2\overline{AH}^2 + \overline{HC}^2\,
把BH和HC用BI和IH表達出來（記得I是BC的中點，因此BI=IC）。注意到雖然現在的情形假設H在線段BI上，但其
他情形也可以用這個方法。
: \overline{BH} = \overline{BI} - \overline{IH} \,
: \overline{HC} = \overline{IC} + \overline{IH} = \overline{BI} + \overline{IH}\,
代入前式：
: \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = (\overline{BI}-\overline{IH})^2 + 2\overline{AH}^2 + (\overline{BI}+\overline{IH})^2 \,
: \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline{BI}^2 - 2\overline{BI}\cdot \overline{IH}+ \overline{IH}^2 + 2\overline{AH}^2 + \overline{BI}^2 + 2\overline{BI}\cdot \overline{IH} + \overline{IH}^2\,
: \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = 2\overline{BI}^2 + 2\overline{IH}^2 + 2\overline{AH}^2 = 2\overline{BI}^2 + 2(\overline{IH}^2 + \overline{AH}^2) \,
\triangle IHA 是直角三角形(H為\triangle ABC 於\overline{BC} 之垂足)
，因此
: \overline{IH}^2 + \overline{AH}^2 = \overline{AI}^2\,
代入前式得出
: \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = 2\overline{BI}^2 + 2\overline{AI}^2\,

中線的向量表達式
設I是線段BC的中點，則有\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AI}

中線的另一條定理
用標積表示AB^2 - AC^2 = 2\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{IH}，其中H是A到線BC的垂足。

從上得到中線的另一條定理 \left| AB^2 - AC^2 \right| = 2 BC \times IH 。

實際上
:AB^2 - AC^2 = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = 2\overrightarrow{AI}\cdot(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}) = 2\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{CB}

\overrightarrow{AI}投影在\overrightarrow{BC} 上是\overrightarrow{HI}，因而有\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{HI}\cdot\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{IH}.

這兩個共線向量的標積可等於BC \times IH \,或其負數，因此取絕對值。

參見

• 閉凸集投影定理，中線定理是這定理的證明關鍵。
• 平行四邊形恆等式
• 斯圖爾特定理