階冪

在數學中，正整数的階冪（）是所有小於及等於該數的正整數的冪，記作 ，例如：

:4\$ = 4 ^{3 ^{2 ^{1}}} = 262144 。

階冪是階加和階乘在冪運算上的類比。

前几项的階冪数为

1 , 2 , 9 , 262144 , ...

階冪的增長率比階乘，甚至過級階乘還要快。到了5的階冪，已經是 5\$=5^{262144}\approx 6.206069878660874 \times 10^{183230}。

定義
一般地說，對於正整數 n，
:n\$ = n_{}^{(n-1)^{{(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3}^{{2}^{1}}}}}}}}

從上述公式中，可以推導出遞歸關係：

:\left\{\begin{align}
1\$&=1\\
n\$&=n ^{(n-1)\$}
\end{align}\right.。

遞迴關係在階冪函數中任意正整數 n 皆成立，例如：
: \begin{align}
5\$ &= 5 ^{ 4\$} \\
6\$ &= 6 ^{ 5\$} \\
50\$ &= 50 ^{ 49\$}
\end{align}

非正整數的擴展
階冪原始的定義只在正整數上。不同於階乘，階冪的定義域從正整數推廣到實數和複數的過程中，遇到了困難。

與疊代冪次相似，由於冪塔高度為 0 的數值並沒有一個廣為接受的良好定義， 0\$ 並未定義。階冪亦不像階乘般，存在如伽瑪函數一樣的函數，作為其對實數以至複數的擴展。

變化
雙階冪
類比於雙階乘，能夠為正整數 n 定義雙階冪（double expofactorial）。

當 n 是單數，n\$\$=n_{}^{(n-2)^{{(n-4)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{5}^{{3}^{1}}}}}}}} 。

當 n 是雙數，n\$\$=n_{}^{(n-2)^{{(n-4)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{6}^{{4}^{2}}}}}}}} 。

多重階冪
雙階冪能進一步推廣為多重階冪（multiple expofactorial）。 n\$_{(m)}被称为 n 的 m 重階冪，定义为
: n\$_{(m)}=
\left\{
\begin{align}
&1\qquad\qquad\ &&\mbox{if }0\le n。

例如， 7\$_{(3)}=7^{4^1} =2401。

超級階冪
類比於由尼爾·斯洛恩和西蒙·普勞夫定義的超級階乘，我們能定義超級階冪（superexpofactorial）為首 n 個階冪的疊冪，記作 \operatorname{se}(n)。

:\operatorname{se}(n) = n\$_{}^{(n-1)\$^{{(n-2)\$}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3\$}^{{2\$}^{1\$}}}}}}}}

例如， \operatorname{se}(3)={(3^{2^1})}^{({2^1})^1}=81

前幾個超級階冪為

:1 , 2 , 81, ...
:第四个超級階冪值約為7.975\times 10^{438}。

過級階冪
過級階冪（hyperexpofactorial）寫作 \operatorname{he}(n) ，其定義為

: \operatorname{he}(n) = {^nn}_{}^{{{^{n-1}(n-1)}}^{{^{n-2}(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{^{3}3}^{{^{2}2}^{^{1}1}}}}}}}} ，

其中 {^ba} 表示疊代冪次。

例如， \operatorname{he}(3)={(3^{3^3})}^{({2^2})^1}

前幾項的過級階冪為

:1 , 4 , 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, ...
:第四个過級階冪值約為 10^{10^{205.43}}。

倒數階冪
倒數階冪（reciprocal expofactorial）是指所有小於及等於該數的正整數之倒數的疊冪：
: \frac{1}{n}_{}^{(\frac{1}{n-1})^{({\frac{1}{n-2})}^{.\,^{.\,^{.\,^{{(\frac{1}{3})}^{{(\frac{1}{2})}^{1}}}}}}}} 。

階冪的和及積
首 n 個階冪的和為

:\sum_{k=1}^n k\$=1\$+2\$+3\$+\cdots+n\$。

首 n 個階冪的積為

:\prod_{k=1}^n k\$=1\$\times2\$\times3\$\times\cdots\times n\$。

以上兩個數值的增長率，要比階冪本身還要快。

首 n 個階冪倒數的和為

:\sum_{k=1}^n \frac{1}{k\$}=1+\frac{1}{2\$}+\frac{1}{3\$}+\cdots+\frac{1}{n\$}。

當 n 趨向無窮大，其值收斂於 1.6111149258083767361111...。

參見
*階加
*階乘

參考文獻
Clifford A. Pickover (1995), Keys to Infinity*, Wiley.
*Jonathan Sondow, "[http://mathworld.wolfram.com/ExponentialFactorial.html Exponential Factorial] " From Mathworld, a Wolfram Web resource
Sloane, N. J. A., Sequences A049384 and A080219, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences*.