{{Infobox number
| name=歐拉數
| number=e\approx2.7182818285
| image=
| range =
數表—
| symbol=e
| OEIS=A001113
| 發現者=雅各布·伯努利
| other name=納皮爾常數
| type=無理數
超越數
| define=e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n
e = \lim_{t \to 0} (1 + t)^\frac{1}{t}
| root of=\int_{1}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{t} = 1
| continued fraction linear=[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...]
| series=e=\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}
| basedata =
}}
（切线的斜率）值为1之a的唯一值。对比一下，函数2^x（虚点曲线）和4^x（虚线曲线）和斜率为1、y-截距为1的直线（红色）并不相切。]]
e，亦称自然常数、自然底数，或是歐拉數（），是無理數的數學常數，以瑞士數學家歐拉命名；還有個較少見的名字納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一个无限不循环小数，數值約是（小數點後20位，）：
:e = 2.71828182845904523536\cdots，近似值為\frac{271801}{99990}。
有許多的函數都和e有關：自然對數函數的底數即為e，數學中的指数函数也常是指以e為底數的指数函数。
__TOC__
歷史
約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表中第一次提到常數e，但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為這是由威廉·奧特雷德製作的。第一次把e看為常數的是雅各布·伯努利，他嘗試計算下式的值：
:\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
上式代表把1與無窮小相加，再自乘無窮多次。
已知的第一次用到常數e，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。1727年歐拉開始用e來表示這常數；而e第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》（）。雖然往後年日有研究者用字母c表示，但e較常用，終於成為標準。
用e表示的原因確實不明，但可能因為e是指數函數（）一字的首字母。另一看法則稱a, b, c, d有其他經常用途，而e是第一個可用字母。
定義
就像圓周率\pi和虛數單位，e是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義，下面列出一部分。
定義e爲下列極限值：
#:e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n
#:e = \lim_{t \to 0} (1 + t)^\frac{1}{t}
定義e爲階乘倒數之無窮級數的和：
#:e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
- {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
- {1 \over 4!} + \cdots
#: 其中n!代表n的階乘。
定義e爲唯一的正數x使得
#:\int_{1}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{t} = 1
定義e爲唯一的實數x使得
#:\lim_{h\to 0} \frac{x^h-1}{h} = 1
這些定義可證明是等價的，请参见文章。
性質
[[Image:Xth root of x.svg|thumb|right|250px|\sqrt[x]{x} 的極大值在x=e.]]
指數增長或指数衰减過程都可以用指數函數表示。指數函數e^x的重要性在於，唯独该函數（或其常數倍，即x \mapsto ke^x，其中k為任意常數）與自身導數相等。即：
:\frac{d}{dx} e^x=e^x。
:e^{x}的泰勒級數為e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad \forall x
:= 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ...
x為複數時依然成立，因此根據\sin x及\cos x的泰勒級數，得出在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式：
:e^{\mathrm{i}x} = \cos x + {\rm i}\sin x
當x = \pi的特例是歐拉恆等式：
:e^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0
此式被理查德·費曼稱為「歐拉的寶石」。
:(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx)
即棣莫弗公式。
- e是無理數和超越數（見林德曼－魏尔斯特拉斯定理）。這是第一個獲證為超越數的数，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特（）於1873年證明。有猜想它為正規數。
- 当x = e时函數f(x) = \sqrt[x]{x}有最大值。
- e的無窮連分數展開式有個有趣的模式，可以表示如下（）
:e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, \ldots]
就像以下的展開式：
:e = 2+
\cfrac{1}
{1+\cfrac{1}
{\mathbf 2 +\cfrac{1}
{1+\cfrac{1}
{1+\cfrac{1}
{\mathbf 4 +\cfrac{1}
{1+\cfrac{1}
{1+\cfrac{1}
{\mathbf 6 +\cfrac{1}
{1+\ddots}
}
}
}
}
}
}
}
}
無理數證明
反證法
證明e是無理數可以用反證法。假設e是有理數，則可以表示成\frac{a}{b} ，其中a, b為正整數。以e的無窮級數展開式可以得出矛盾。
考慮數字
:x = b! \left(e-\sum_{i=0}^b {1 \over i!}\right)，
以下將推導出x是小於1的正整數；由於不存在這樣的正整數，得出矛盾，所以得證e是無理數。
- x是整數，因為
*:0
*:= a (b-1)! - \sum_{i=0}^b {b! \over i!}
*:= a (b-1)! - \left[
1 + \sum_{n=0}^{b-1} b(b-1)\cdots(n+1)\right]。
- x是小於1的正數，因為
*:0
*:= \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots
*:。
但是0與1之間（不含0與1）不存在有整數，故原先假設矛盾，得出e為無理數。
二項式定理
視n為存在的數值，所以用二項式定理可證出：
:e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
:=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n}C_{k}^{n}1^{n-k}\left(\frac{1}{n}\right)^k
:=\lim_{n\to\infty} \left[C_{0}^{n}1^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^0+C_{1}^{n}1^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^1+C_{2}^{n}1^{n-2}\left(\frac{1}{n}\right)^2+C_{3}^{n}1^{n-3}\left(\frac{1}{n}\right)^3+...+C_{n}^{n}1^0\left(\frac{1}{n}\right)^n\right]
:=\lim_{n\to\infty} \left[1\times 1+n\times \frac{1}{n}+\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}\times \frac{1}{n^2}+\frac{n!}{\left(n-3\right)!3!}\times \frac{1}{n^3}+...+1\times \frac{1}{n^n}\right]
:=\lim_{n\to\infty} \left[1+1+\frac{n\times \left(n-1\right)}{2n^2}+\frac{n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^3}+...+\frac{1}{n^n}\right]
:=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+...
:=2.71828...
已知位数
諧取
- 在Google2004年的首次公開募股，集資額不是通常的整頭數，而是$2,718,281,828，這當然是取最接近整數的e十億美元。Google2005年的一次公開募股中，集資額是$14,159,265，与圆周率有关。
- Google也是首先在矽谷心臟地帶，接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕[https://web.archive.org/web/20050427090207/http://mattwalsh.com/twiki/pub/Main/GoogleBillboardContestFindingPrimesInE/IMG_0742.JPG 廣告版 ]的幕後黑手，它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在e的連續數字中第一個發現的十位質數.com）。解決了這問題（第一個e中的十位質數是7427466391，出奇地到很後才出現，由第100個數字開始），進入網站後還有個更難的題目要解決，最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束，上述網站都已關閉。
- 著名電腦科學家高德納的软件Metafont的軟體版本號趨向e（就是說版本號碼是2，2.7，2.71，2.718等），与之相对的有TeX的軟體版本號号是趋向于圆周率的。
参见
- e的π次方
- 无理数
- 超越数
- 欧拉数
- 圆周率
- 指数函数
- 自然對數
参考文献
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