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倍立方

Wikipedia · 2026-07-09 维基百科 👁 1 阅读

倍立方是古希腊数学里尺规作图领域當中的著名问题，和三等分角、化圓為方問題被並列為古希臘尺规作图三大难题。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一，是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化，研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。倍立方问题的内容是：

**“能否用尺规作图的方法作出一立方体的稜长，使该立方体的体积等于一给定立方体的两倍？”
**

倍立方问题的实质是能否通过尺规作图从单位长度出发作出\sqrt[3]{2}的问题。

三大難題提出后，在漫长的两千余年中，曾有众多的尝试，但没有人能够给出严格的答案。随着十九世纪群论和域论的发展，法国数学家首先利用伽罗瓦理论证明，三等分角問題的答案是否定的。运用类似的方法，可以证明倍立方问题的答案同样是否定的。具体来说，给定单位长度後，所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数，而如果能够作出\sqrt[3]{2}，那么就能做出不属于规矩数的长度，从而反证出通过尺规作图作出给定立方体体积两倍的立方体是不可能的。

如果不将手段局限在尺规作图法中，放宽限制或借助更多的工具的话，作出给定立方体体积两倍的立方体是可行的。

背景简介
相关传说
传说中，这问题的来源，可追溯到公元前429年。一场瘟疫袭击了希腊提洛岛（Delos），造成四分之一的人口死亡。岛民们去神庙请示阿波罗的旨意，神谕说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接著人们又试著把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救於当时著名的学者柏拉图。

开始，柏拉图和他的学生认为这个问题很容易。他们根据平时的经验，觉得利用尺规作图可以轻而易举地作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的2倍，那么作一个正方体，使它的体积等于已知正方体体积的2倍，还会难吗?

尺规作图法
在叙述倍立方问题前，首先需要介绍尺规作图。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是

倍平方
与倍立方问题相比，倍平方问题要简单得多。给定一个单位长度的线段，只需做一个以它为边长的正方形，以正方形的对角线为边长的正方形，面积就是2. 也即是说，尺规作图可以作出长度为单位长度的\sqrt{2}倍的线段。然而，\sqrt[3]{2}和\sqrt{2}虽然形状相近，却有本质性的区别。数学家们直到十九世纪后，才从群论和域论的工具中了解了这个区别。

不可能性的證明
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尺规作图三大难题提出後，有許多基於平面幾何的論證和嘗試，但在十九世紀以前，一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出倍立方问题的解法，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的解法一定不存在。直到十九世紀後，伽羅瓦和阿貝爾開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到这三个問題的本質 。

尺规可作性和规矩数
在研究各种尺规作图问题的时候，数学家们留意到，能否用尺规作出特定的图形或目标，本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后，又可以将长度解释为坐标。比如说，作出一个圆，实际上是作出圆心的位置（坐标）和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线，实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此，数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点和，以为单位长度，射线为-轴正向可以为平面建立一个标准直角坐标系，平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示，整个平面可以等价于\mathbb{R}^2。

设是\mathbb{R}^2的一个非空子集。如果某直线\mathcal{l}经过中不同的两点，就说\mathcal{l}是-尺规可作的，简称-可作。同样地，如果某个圆\mathcal{C}的圆心和圆上的某个点是中的元素，就说\mathcal{C}是-可作的。进一步地说，如果\mathbb{R}^2里的某个点是某两个-可作的直线或圆的交点（直线－直线、直线－圆以及圆－圆），就说点是-可作的。这样的定义是基于五个基本步骤得来的，包括了尺规作图中从已知条件得到新元素的五种基本方法。如果将所有-尺规可作的点的集合记作，那么当中包含超过两个点的时候，肯定是的真子集。从某个点集开始，经过一步能作出的点构成集合=，经过两步能作出的点就是=，……以此类推，经过步能作出的点集就是=。而所有从能尺规作出的点集就是：
:C(\mathrm{E}_0) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \mathrm{E}_n.

另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设是从集合={(0,0), (0,1)}开始，尺规可作点的集合：\mathrm{H} = C(\mathrm{E}_0), 那么规矩数定义为中的点的横坐标和纵坐标表示的数。
:定义：实数和是规矩数当且仅当是中的一个点。

可以证明，有理数集\mathbb{Q}是所有规矩数构成的集合的子集，而又是实数集\mathbb{R}的子集。另外，为了在复数集\mathbb{C}内讨论问题，也会将平面\mathbb{R}^2看作复平面\mathbb{C}，同时定义一个复数是（复）规矩数当且仅当点是中的一个点。所有复规矩数构成的集合也包含\mathbb{Q}作为子集，并且是复数集\mathbb{C}的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数，尺规作图问题从几何问题转成了代数的问题。

域的扩张与最小多项式
以集合的观念来说，与\mathbb{Q}、\mathbb{C}之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说，可以证明是有理数域\mathbb{Q}的扩域，是实数域\mathbb{C}的子域。记作\mathbb{Q} \subseteq \mathrm{L} \subseteq \mathbb{C}。域是抽象代数中的概念，是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发，很容易得到任何有理数长度的线段，所以直线（也就是实数轴）上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点

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外部链接

#平面几何 #数学问题

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