費馬數是以数学家费马命名的一组自然数，具有形式：
:F_{n} = 2^{2^n} + 1
其中n为非负整数。
若2^n+1是素数，可以得到 n 必须是2的幂。（若n=ab，其中1 且b为奇数，则2^n+1 \equiv (2^a)^b+1 \equiv (-1)^b+1 \equiv 0 \pmod{2^a+1}，即2^a+1是2^n+1的因數。）也就是说，所有具有形式2^n+1的素数必然是費馬數，这些素数称为費馬素數。已知的費馬素數只有F_0至F_4五個。
基本性质
费马数满足以下的递归关系：
:F_{n} = (F_{n-1}-1)^{2}+1\,
:F_{n} = F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}F_{0} \cdots F_{n-2}
:F_{n} = F_{n-1}^2 - 2(F_{n-2}-1)^2
:F_{n} = F_{0} \cdots F_{n-1} + 2
其中n\geqslant2。这些等式都可以用数学归纳法推出。从最后一个等式中，我们可以推出哥德巴赫定理：任何两个费马数都没有大于1的公因子。要推出这个，我们需要假设0 \leqslant i 且F_i和F_j有一个公因子a > 1。那么a能把
:F_{0} \cdots F_{j-1}
和F_j都整除；则a能整除它们相减的差。因为a > 1，这使得a = 2。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。
其他性质：
*F_n的位数D(n,b)可以表示成以b为基数就是
:D(n,b) = \left\lfloor \log_{b}\left(2^{2^{\overset{n}{}}}+1\right)+1 \right\rfloor \approx \lfloor 2^{n}\,\log_{b}2+1 \rfloor (参见高斯函数).
*除了F_1 = 2 + 3以外没有费马数可以表示成两个素数的和。
*当p是奇素数的时候，没有费马数可以表示成两个数的 p 次方相减的形式。
*除了F_0和F_1，费马数的最后一位是7。
*大的費馬數除以小的費馬數的餘數都是2。
- 所有费马数的倒数之和是无理数。 (所罗门·格伦布,1963)
费马数的因式分解
最小的12个費馬數为：
其中前八个来源于。
質因數個數顏色：
紅色：2個因數；綠色：3個因數；粉色：4個因數；藍色：5個因數；橘色：6個因數；紫色：7個因數(含以上)；
只有最小的12个費馬數被人们完全分解了，目前最小不確定質性的費馬數是F_{33}。
不確定質性的數：F_n，n= 33、34、35、44、45、46、...
历史
1640年，费马提出了一个猜想，認為所有的费马数都是素数。这一猜想对最小的5个費馬數成立，于是费马宣称他找到了表示素数的公式。然而，欧拉在1732年否定了这一猜想，他给出了F_5的分解式：
:F_5 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \times 6700417
歐拉證明費馬數的因數皆可表成k2^{n+1}+1，之後卢卡斯證明費馬數的因數皆可表成k2^{n+2}+1。
費馬的本猜測到了大數可說是大錯特錯，甚至不少數學家認為不存在第6個費馬質數。
定理
*高斯称：尺规作图正多边形的边数目的充分条件是2的非負整數次方乘以任意个（可为0个）不同的费马素数的积，解决了兩千年来悬而未决的难题。這個條件也是必要條件，但他沒有給出證明。
素性检验
方法一
设F_n=2^{2^n}+1为第n个费马数。如果n不等于零，那么：
:F_n是素数，当且仅当3^{\frac{F_n-1}{2}}\equiv-1\pmod{F_n}。
证明
假设以下等式成立：
:3^{\frac{F_n-1}{2}}\equiv-1\pmod{F_n}
那么3^{F_n-1}\equiv1\pmod{F_n}，因此满足3^k = 1 \pmod{F_n}的最小整数k一定整除F_n-1=2^{2^n}，它是2的幂。另一方面，k不能整除\tfrac{F_n-1}{2}，因此它一定等于F_n-1。特别地，存在至少F_n-1个小于F_n且与F_n互素的数，这只能在F_n是素数时才能发生。
假设F_n是素数。根据欧拉准则，有：
:3^{\frac{F_n-1}{2}}\equiv\left(\frac3{F_n}\right)\pmod{F_n},
其中\left(\frac3{F_n}\right)是勒让德符号。利用重复平方，我们可以发现2^{2^n}\equiv1\pmod3，因此F_n\equiv2\pmod3，以及\left(\frac{F_n}3\right)=-1。因为F_n\equiv1\pmod4，根据二次互反律，我们便可以得出结论\left(\frac3{F_n}\right)=-1。
方法二
根據費馬平方和定理，可證明某些費馬數為合數。(因為4n+1型的質數皆可表示為兩正整數的平方和，且表示方法唯一)
例如：
F_5=(2^{16})^2+1^2=20449^2+62264^2
F_6=(2^{32})^2+1^2=1438793759^2+4046803256^2
注释
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