Batalin-Vilkovisky代数（Batalin–Vilkovisky formalism，简称BV代数）是Batalin和Vilkovisky在研究规范场的量子化过程中发现的一种代数结构。他们所提出的量子化方法（称为BV formailism或者BV quantization），是一种十分普遍而且有效的量子化方法，正受到越来越多的量子场论学家和弦理论家的重视和应用，而BV代数也越来越受到数学家们的重视。

定义
设\; V\; 是数域\; k\; 上的一个分次(graded)线性空间。\; V\; 上的一个BV代数结构是三元组\; (V,\bullet,\Delta)\; ，满足以下两个关系：

\; (V,\bullet)\; 是\; k\; 上的分次、交换、结合的代数(algebra)；

\; \Delta\; 是关于\; \bullet\; 的二阶微分算子，即\; \Delta\; 的度数为1，\; \Delta^2=0\; ，并且对任给的\; a,b,c\in V\; ,

\;
\begin{matrix}
\Delta(a\bullet b\bullet c)&=&\Delta(a\bullet b)\bullet c+(-1)^a\bullet \Delta(b\bullet c)+(-1)^{(|a|+1)|b|}b\bullet \Delta (a\bullet c)\\
&&-(\Delta a)\bullet b\bullet c-(-1)^a\bullet (\Delta b)\bullet c-(-1)^a \bullet b\bullet (\Delta c).\; \end{matrix}

在上面的定义中，如果令

\;[a,b]=(-1)^\Delta(a\bullet b)-(-1)^(\Delta a)\bullet b-a\bullet (\Delta b),\;

则可以验证，\; (V,\bullet,[\;,\;])\; 形成一个Gerstenhaber代数。因此可以说，BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数。不仅如此，\; \Delta\; 还是关于\; [\;,\;]\; 的导子(derivation)，即
\;\Delta[a,b]=[\Delta a,b]+(-1)^{|a|+1}[a,\Delta b],\;

使得\;(V,[\;,\;],\Delta)形成一个微分分次李代数(differential graded Lie algebra, DGLA)。

例子
迄今为止所发现的BV代数的例子几乎都与数学物理有关。

#设\; M\; 是一个奇的辛流形(odd symplectic manifold)，记\; C^{\infty}(M)\; 为\; M\; 上光滑函数组成的集合。我们有\; C^{\infty}(M)\; 形成一个分次交换结合的代数，记其乘法为\; \bullet\; 。设\; (x^1,\cdots,x^n;\eta^1,\cdots,\eta^n)\; 为\; M\; 上的一组Darboux坐标，令\; \Delta=\sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial \eta^i},\;
则可以验证，\; (C^{\infty}(M),\bullet,\Delta)\; 形成一个BV代数，参见；
#田刚(G. Tian)在关于卡拉比-丘流形(Calabi-Yau manifold)的复结构的形变空间是光滑的证明中，实际上证明了控制复结构形变的微分分次李代数是一个BV代数；
#B. Lian和G. Zuckerman证明了量子场论的数学背景(background，指从量子场论中抽象出来的代数结构)有一个BV代数结构；
#E. Getzler用不同于Lian和Zuckerman的方法证明，一个二维拓扑共形场论(TCFT，此处采用Segal的定义)的同调群有一个自然的BV代数结构；
#M. Chas和D. Sullivan证明，一个流形的自由环路空间(free loop space)的同调群上有一个BV代数结构。

背景
正如上面所述，BV代数跟量子场论有密切的联系。事实上，对一些数学物理学家来说，一个量子场论就指一个BV代数以及其中一个元素\; S\;，该元素满足以下方程：\;\Delta e^S=0\quad \Big(\;等价于\;\Delta S+\frac{1}{2}[S,S]=0\Big),\;
称为Master方程，有时候\;S\;必须满足所谓的量子Master方程，即\;\Delta e^{\frac{S}{\hbar}}=0.\;

另外，BV代数跟弦理论里面的镜像对称(Mirror Symmetry)也有密切的关系。事实上，镜像对称的A模型和B模型都有一个BV代数，而它们相应的Master方程的解空间上都有一个所谓弗罗贝尼乌斯流形的结构。镜像对称的一种表述就是，这两个Frobenius流形是同构的。

BV代数的研究是目前数学特别是数学物理中一个比较活跃的领域，关于它的研究仍在进行之中。

参考文献