茶年 · 中文维基百科

三角形數

Wikipedia · 2026-08-04 维基百科 👁 1 阅读

一定数目的点或圆在等距離的排列下可以形成一个等邊三角形，這樣的數被稱為三角形數。比如10個點可以組成一个等邊三角形，因此10是一個三角形數：

頭30個三角形數是...。

三角数的二倍的平方根取整，是这个三角数的序数。

性質
*第n个三角形數的公式是\frac {n (n+1)}{2}。
*第n个三角形數是從1开始的n个自然数的和。
*所有大于3的三角形數都不是质数。
*除了0，1，3，21，55以外，三角形數不可能是費波那契數。
*开始的n个立方数的和是第n个三角形數的平方（举例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102）
*所有三角形數的倒数之和是2。
*任何三角形數乘以8再加1是一个平方数。
*三角數的個位數字不可能是2、4、7、9，數字根不可能是2、4、5、7、8。
一部分三角形數（3、10、21、36、55、78……）可以用以下这个公式来表示：n(2n+1)；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）则可以用n*(2n-1)来表示。
一种检验正整数x*是否三角形数的方法，是计算：
*::n = \frac{\sqrt{8x+1}-1}{2}.
:如果n是整数，那么x就是第n个三角形数。如果n不是整数，那么x*不是三角形数。这个检验法是基于恒等式8T_n + 1 = S_{2n + 1}.

特殊的三角形數
*55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。
*第11个三角形數（66）、第1111个三角形數（617,716）、第111,111个三角形數（6,172,882,716）、第11,111,111个三角形數（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形數，但第111个（6,216）、第11,111个（61,732,716）和第1,111,111个（617,284,382,716）三角形數不是。
*同時為三角形數及普洛尼克數的數（不定方程x(x+1)=\frac{y(y+1)}{2}）：最小的幾個為0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……，對應的x值分別為0, 2, 14, 84, 492, 2870,……，對應的y值分別為0, 3, 20, 119, 696, 4059,……。

它與其他數的關係
*是否在相继出现的三角形数之间至少存在一个素数，与勒让德猜想等价。
*四面體數是三角形數在立體的推廣。
*两个相继的三角形數之和是平方数。
*三角平方數是同時為三角形數和平方數的數。
*三角形數屬於一種多邊形數。
*所有偶完美数都是三角形数。
*所有的三角形數都可以在楊輝三角形每橫行從右到左或左到右的第3項找到。{{NoteTag|1=即n \ge 2時，組合數\binom{n}{2}=\binom{n}{n-2}=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}皆為三角形數。}}
*任何自然数是最多三个三角形數的和。高斯发现了这个规律，他在1796年7月10日在日记中写道：EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ

外部連結
*

*

註釋
參考資料

#三角形 #数论中的平方 #阶乘与二项式主题 #整数数列 #多邊形數及多面體數 #有形數

评论 (0)

  • 还没有评论，来抢沙发吧。