連通和

在數學裡，尤其是在拓撲學裡，連通和的運算是指一於流形上的幾何改變。其效果為將兩個給定的流形於各個選定的點附近連接起來。此一建構在閉曲面分類上有著關鍵性的角色。

更一般地，也可以將流形和其子流形連接起來；此一廣義化通常稱為纖維和。另外還有在結上之連通和的一相關概念，其稱為結和或結的複合。

於一點上的連通和
兩個m維流形的連通和為一流形，其將兩個流形各挖去一個球，再將球面邊界黏在一起。

若兩個流形是可定向的，由逆转定向黏合映射定义的连通和是惟一的。即使這建構使用到的球的選擇，但最後結果都會於同胚下統一。亦可以將此運算作用於光滑範疇上，而其結果也會於微分同胚下統一。

連通和的運算標記為\#；例如，A \# B即表示為A和B的連通和。

連通和的運算中有一球面S^m為單位元；亦即，M \# S^m會同胚(或微分同構)於M。

閉球面的分類，在拓撲學上的一基本及重大結果，其描述为：任一閉曲面均可表示成g个環面和k個實射影平面的連通和。

沿着一个子空间的连通和
設M_1和M_2為兩個光滑、可定向且相同維度的流形，及V為一光滑、封閉且可定向的流形，可內嵌成M_1和M_2的子流形。此外，再假設其存在一法叢的同構

:\psi: N_{M_1} V \to N_{M_2} V

其將每一纖維的定向顛倒。然後，\psi便可導出一定向保留的微分同構

:N_1 \setminus V \cong N_{M_1} V \setminus V \to N_{M_2} V \setminus V \to N_{M_2} V \setminus V \cong N_2 \setminus V,

其中，每一法叢N_{M_i} V都會微分同構地和於M_i內V的鄰域N_i一致，且映射

:N_{M_2} V \setminus V \to N_{M_2} V \setminus V

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參考文獻

• Robert Gompf: A new construction of symplectic manifolds, Annals of Mathematics 142 (1995), 527-595
• William S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology, Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97430-X.