双曲函数

在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是雙曲正弦函数\sinh和雙曲餘弦函数\cosh，从它们可以导出双曲正切函数\tanh等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。

双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如說定义悬链线和拉普拉斯方程。

基本定义
最簡單的幾種雙曲函數為：
*雙曲正弦：
*:\sinh x = \frac{e^x - e^{ - x} }{2}
*雙曲餘弦：
*:\cosh x = \frac{e^x + e^{ - x} }{2}
*雙曲正切：
*:\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}}
= \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}.
*雙曲餘切：當x\neq 0
*:\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}}
= \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}.
*雙曲正割：
*: \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}}
= \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}.
*雙曲餘割：當x\neq 0
*: \operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}}
= \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}.

函数\cosh x是关于y轴对称的偶函数。函数\sinh x是奇函数。

如同当t 遍历实数集 \mathbb{R}时，点（\cos t, \sin t）的轨迹是一个圆x^2 + y^2 = 1一样，当t 遍历实数集 \mathbb{R}时，点（\cosh t, \sinh t）的轨迹是單位雙曲線x^2 - y^2 = 1的右半边。这是因为有以下的恒等式：
:\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1
参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（\cosh t, \sinh t）的直线之间的面积的两倍。

歷史
（方程y = {1 \over x}）下，雙曲線三角形（黃色），和對應於雙曲角u的雙曲線扇形（紅色）。這個三角形的邊分別是雙曲函數中\cosh和\sinh的\sqrt{2}倍。]]
在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特引入雙曲函數，並計算了雙曲幾何中雙曲三角形的面積。自然對數函數是在直角雙曲線xy = 1下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線y = x上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角u，在漸近線即x或y軸上需要有的x或y的值。顯見這裡的底邊是\left(e^u + e^{ -u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}，垂線是\left(e^u - e^{-u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：
*\cosh u = \frac{e^u + e^{-u}}{2}
*\sinh u = \frac{e^u - e^{-u}}{2}
單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線xy = 1下雙曲角的{1 \over 2}。

虛數圓角定義
雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上，如果x是實數而i ^ 2 = -1，則
: \cos(i x) = \cosh(x), \quad -i \sin(i x) = \sinh(x).
所以雙曲函數\cosh和\sinh可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是，可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成\cosh函數，後者形成了\sinh函數。\cos函數的無窮級數可從\cosh得出，通過把它變為交錯級數，而\sin函數可來自將\sinh變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數i，從三角函數的級數的項中去掉交錯因子(-1)^n，來恢復為指數函數的那兩部份級數。
: e^x = \cosh x + \sinh x\!
:\begin{array}{lcl}
\cosh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!} & \sinh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} & \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
\end{array}

雙曲函數可以通過虛數圓角定義為：

• 雙曲正弦：。威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來參數化單位雙曲線。

給定相同的角α，在雙曲線上計算雙曲角的量值（雙曲扇形面積除以半徑）得到雙曲函數，角\alpha得到三角函數。在單位圓和單位雙曲線上，双曲函数与三角函数有如下的关係:
*正弦同樣是從x軸到曲線的半弦。
*餘弦同樣是從y軸到曲線的半弦（圖中的餘弦是長方形的另一條邊）。
*正切同樣是過x軸上單位點（1,0）在曲線上的切線到終邊的長度。
*餘切同樣是從y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和曲線連線之長度。
*正割同樣是在一個有正切和單位長的直角三角形上，但邊不一樣。
*餘割同樣是y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和原點之距離。
*角的量值可以從0到無限大，但\alpha實際上只會介於0到2\pi（360度）之間，其餘是\alpha的同界角，再繞著圓旋轉，故三角函數可以有周期。雙曲角的量值可以從0到無限大，但\alpha實際上不會超過\frac{\pi}{4}（45度），故無法如三角函數一樣有周期性。

恆等式
与双曲函数有关的恆等式如下:
:\begin{align}
\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \\
1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2x \\
\operatorname{coth}^2x - 1 = \operatorname{csch}^2x \\
\end{align}

*加法公式：
:\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y
:\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y
:\tanh(x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y}

*二倍角公式：
:\sinh 2x\ = 2\sinh x \cosh x
:\cosh 2x\ = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1
:\tanh 2x = \frac{2 \tanh x}{1 + \tanh ^2 x}

• 和差化積：

\begin{align}
\sinh x + \sinh y &= 2 \sinh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
\cosh x + \cosh y &= 2 \cosh \left(\frac{x+y}{2}\right) \cosh \left(\frac{x-y}{2}\right)\\
\end{align}

*半角公式：
:\sinh \frac{x}{2} = \frac{\sinh x}{\sqrt{2 (\cosh x + 1)} } = \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x - 1}{2}
:\cosh\frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{\cosh x + 1}{2} }
:\tanh \frac{x}{2} = \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} = \sgn x \, \sqrt \frac{\cosh x-1}{\cosh x+1} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}
:其中 為符號函數。
:若 ，則：
:\tanh \frac{x}{2} = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x- \operatorname{csch} x
:

由于雙曲函數和三角函数之间的对应关系，雙曲函數的恆等式和三角函數的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數，并将含有有兩個\sinh的積的项（包括\coth^2 x, \tanh^2 x, \operatorname{csch}^2 x , \sinh x \sinh y）轉換正負號，就可得到相應的雙曲函數恆等式。如
*三倍角公式：
:三角函数的三倍角公式为：
:\sin 3x\ = 3 \sin x - 4 \sin^3 x
:\cos 3x\ = -3 \cos x + 4 \cos^3 x
:而对应的双曲函数三倍角公式则是：
:\sinh 3x\ = 3 \sinh x + 4 \sinh^3 x
:\cosh 3x\ = -3 \cosh x + 4 \cosh^3 x
*差角公式：
:\begin{align}
\sinh(x - y) &= \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y \\
\cosh(x - y) &= \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y \\
\tanh(x - y) &= \frac{\tanh x -\tanh y}{1- \tanh x \tanh y } \\
\end{align}

双曲函数的導數
\begin{align}
\frac{d}{dx}\sinh x &= \cosh x \\
\frac{d}{dx}\cosh x &= \sinh x \\
\frac{d}{dx}\tanh x &= 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} \\
\frac{d}{dx}\coth x &= 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x} && x \neq 0 \\
\frac{d}{dx}\operatorname{sech} x &= - \tanh x \operatorname{sech} x \\
\frac{d}{dx}\operatorname{csch} x &= - \coth x \operatorname{csch} x && x \neq 0
\end{align}

双曲函数的泰勒展開式
雙曲函數也可以以泰勒級數展開:

:\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

:\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}

:\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right |

:\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 （罗朗级数）

:\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right |

:\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 （罗朗级数）

其中

:B_n是第n項伯努利數
:E_n是第n項欧拉數

無限積與連續分數形式
下列的擴展在整個複數平面上成立：
:\sinh x = x\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right) =
\cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{2\cdot3+x^2 -
\cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5+x^2 -
\cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7+x^2 - \ddots}}}}

:\cosh x = \prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{x^2}{(n-1/2)^2\pi^2}\right) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{x^2}{1 \cdot 2 + x^2 - \cfrac{1 \cdot 2x^2}{3 \cdot 4 + x^2 - \cfrac{3 \cdot 4x^2}{5 \cdot 6 + x^2 - \ddots}}}}

:\tanh x = \cfrac{1}{\cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{3}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{5}{x} + \cfrac{1}{\cfrac{7}{x} + \ddots}}}}

双曲函数的积分
: \int\sinh cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\cosh cx + C
: \int\cosh cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\sinh cx + C
: \int \tanh cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\ln(\cosh cx) + C
: \int \coth cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\ln\left|\sinh cx\right| + C
: \int \operatorname{sech} cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\arctan (\sinh cx) + C
: \int \operatorname{csch} cx\,\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\ln\left|\tanh\frac{cx}{2}\right| + C

與指數函數的關係
從雙曲正弦和餘弦的定義，可以得出如下恆等式:
:e^x = \cosh x + \sinh x
和
:e^{-x} = \cosh x - \sinh x

複數的雙曲函數
因為指數函數可以定義為任何複數參數，也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數\sinh z和\cosh z是全純函數。

指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出：
:\begin{align}
e^{i x} &= \cos x + i \;\sin x \\
e^{-i x} &= \cos x - i \;\sin x
\end{align}
所以:
:\begin{align}
\cosh ix &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} + e^{-i x}\right) = \cos x \\
\sinh ix &= \frac{1}{2} \left(e^{i x} - e^{-i x}\right) = i \sin x \\
\tanh ix &= i \tan x \\
\end{align}
:\begin{align}
\cosh(x+iy) &= \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \\
\sinh(x+iy) &= \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \\
\end{align}
:\begin{align}
\cosh x &= \cos ix \\
\sinh x &= - i \sin ix \\
\tanh x &= - i \tan ix
\end{align}
因此，雙曲函數是關於虛部有週期的，週期為2 \pi i（對雙曲正切和餘切是\pi i）。

反双曲函数
反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为：

:\begin{align}
\operatorname {arsinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\
\operatorname {arcosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 \\
\operatorname {artanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right| 1 \\
\operatorname {arsech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0

参考文献
参见
*反双曲函数
*双曲函数符号
*三角函数
*古德曼函数