在理论物理量子场论中β函數，β(g)描述的是在重正化群下，理論中耦合常數g随能量标度μ的變化，定义：
: \beta(g) = \frac{\partial g}{\partial \log(\mu)} ~,
例子
量子电动力学
量子电动力学 (QED)中β函數一圈图表示：
*\beta(e)=\frac{e^3}{12\pi^2}~,
或
*\beta(\alpha)=\frac{2\alpha^2}{3\pi}~,
这里精细结构常数α = e2/4π .
量子色动力学
量子色动力学 (QCD)中β函數还与夸克的味数n_f有关其一圈图表示：
*\beta(g)=-\left(11-\frac{2n_f}{3}\right)\frac{g^3}{16\pi^2}~,
或
*\beta(\alpha_s)=-\left(11-\frac{2n_f}{3}\right)\frac{\alpha_s^2}{2\pi}~,
这里 αs = \frac{g^2}{4\pi} .
:如果 nf ≤ 16则β函數为负数，理论存在漸近自由，这一现象在1973年，被弗朗克·韋爾切克和戴維·格婁斯，與休·波利策兩組人發現。他們三人在2004年因這項發現而獲得了諾貝爾物理學獎。
SU(N)非阿贝尔规范理論
\beta(\alpha) = \mu^2 \frac{\partial}{\partial \mu^2} \frac{\alpha(\mu^2)}{4\pi}
= - \left[ \beta_0 \left( \frac{\alpha}{4\pi} \right)^2
- \beta_1 \left( \frac{\alpha}{4\pi} \right)^3
- \beta_2 \left( \frac{\alpha}{4\pi} \right)^4+ \cdots\right]
\beta_0 = \frac{11}{3}C_A - \frac{4}{3}T_F n_f
\beta_1 = \frac{34}{3}C_A^2 - \frac{20}{3}C_A T_F n_f - 4C_F T_F n_f
\beta_2 = \frac{2857}{54}C_A^3 - \frac{1415}{27}C_A^2 T_F n_f
- \frac{158}{27}C_A T_F^2 n_f^2 + \frac{44}{9}C_F T_F^2 n_f^2
- \frac{205}{9}C_F C_A T_F n_f +2 C_F^2 T_F n_f
其中： T_F=\frac{1}{2}, C_F=\frac{N^2-1}{2N}和 C_A=N
參考資料
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