正割

{{函數
|name =正割
|image =Sec.svg

|heading1 =1
|parity =偶
|domain = \left\{x\in\mathbb{R}|x\neq k\pi+\tfrac{\pi}{2},\,k\in\mathbb{Z}\right\}
\left\{x\in\mathbb{R}|x\neq 180^\circ k+90^\circ,\,k\in\mathbb{Z}\right\}
|codomain = \left|\sec x\right| \geq 1
|period = 2\pi
（360°）

|heading2 = 1
|zero = 1
|plusinf = N/A
|minusinf = N/A
|max = +∞
|min = -∞
|vr1 =
|f1 =
|vr2 =
|f2 =
|vr3 =
|f3 =
|vr4 =
|f4 =
|vr5 =
|f5 =

|heading3 = 1
|asymptote = x=\left( 2k+1\right)\tfrac{\pi}{2}
（）
|root = 無實根
|critical = k\pi
（）
|inflection =
|fixed = 當x軸為弧度時：
-2.07393280909121...
（-118.827596954637699...°）
-4.487669603341...
（-257.12452812059255...°）
4.9171859252871...
（281.734000600083215...°）
7.72415319239641...
（442.5613782368157...°）
...

當x軸為角度時：
-90.6321919494646472...°
-269.787625875998245...°
89.358798727133722...°
270.212040552238203...°

|notes =k是一個整數。
}}
正割（secant，\sec）是三角函数的一种。它的定义域是不含k\pi+\tfrac{\pi}{2}（或，其中k為整數）的整个实数集，值域是絕對值大於等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为2 \pi（360°）。

正割是三角函数的正函數（正弦、正切、正割、正矢）之一，所以在2k \pi（）到2 k \pi + \frac{\pi}{2}（）的區間之間，函數是遞增的，另外正割函数和餘弦函数互為倒數。

在單位圓上，正割函数位於割線上，因此將此函數命名為正割函数。

和其他三角函數一樣，正割函数一樣可以擴展到複數。

符号史
正割的数学符号为\sec，出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角学》中所用。

定义
直角三角形中
在直角三角形中，一个锐角\angle A的正割定义为它的斜邊与鄰邊的比值，也就是：

: \sec \theta = \frac {\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\,\!

可以發現其定義和餘弦函數互為倒數。

直角坐标系中
设\alpha是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，P\left( {x,y} \right)是角的终边上一点，r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0是P到原点O的距离，则\alpha的正割定义为：

:\sec \alpha = \frac{r}{x}\,\!

单位圆定义
]]

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角\theta，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于\sin \theta。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了\sec \theta =\frac{1}{x}。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于2\pi（360°）或小于-2\pi（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正割变成了周期为2\pi（360°）的周期函数：

:\sec\theta = \sec\left(\theta + 2\pi k \right) = \sec\left(\theta + 360^\circ k \right)

对于任何角度\theta和任何整数k。

與其他函數定義
正割函數和餘弦函數互為倒數

即：
:\sec x = \frac{1}{\cos x}

級數定義
正割也能使用泰勒級數來定義：
:\sec x = 1+\frac{x^2}{2}+\frac{5 x^4}{24}+\frac{61 x^6}{720}+\frac{277 x^8}{8064}+\frac{50521 x^{10}}{3628800}+...=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{E_n}{(2n)!} x^{2n}.

其中E_n为欧拉数。

另外，我们也有
:\sec x =4\pi\sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^n(1-2n)}{(2n\pi-\pi)^2-4x^2}=4\pi \sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^n(1+2n)}{(\pi+2n\pi)^2-4x^2}.

微分方程定義
:\sec 'x\ = \sec x\tan x

:\sec x =\left( \ln \left |\sec x + \tan x\right | \right) '

指數定義
\sec \theta = \frac{2}{e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,

恆等式
用其它三角函数来表示正割
和差角公式
:\sec(\theta\pm\psi)=\frac{\sec\theta\sec\psi} {1\mp\tan\theta\tan\psi}

巴罗的正割積分
艾萨克·巴罗在1670年提出正割的積分
:\int_0^{\phi}\sec t \, dt = \ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}\right)

註釋
參考文獻
參見

• 正弦
• 餘弦
• 正切
• 餘切
• 餘割
• 三角学
• 三角函数
• 函數
• 正弦波

Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens