餘割

{{函數
|name =餘割
|image =Csc.svg

|heading1 =1
|parity =奇
|domain = \left\{x\in\mathbb{R}|x\neq k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}
\left\{x\in\mathbb{R}|x\neq 180^\circ k,\,k\in\mathbb{Z}\right\}
|codomain = \left|\csc x\right| \geq 1
|period = 2\pi
（360°）

|heading2 = 1
|zero = ∞
|plusinf = N/A
|minusinf = N/A
|max = +∞
|min = -∞
|vr1 =
|f1 =
|vr2 =
|f2 =
|vr3 =
|f3 =
|vr4 =
|f4 =
|vr5 =
|f5 =

|heading3 = 1
|asymptote = x=k\pi
（）
|root = 無實根
|critical = k\pi-\tfrac{\pi}{2}
（）
|inflection =
|fixed = 當x軸為弧度時：
±1.11415714087193...
（±63.8365018863243...°）
±2.77260470826599...
（±158.858548041742...°）
±6.4391172384172...
（±368.934241551242...°）
...

當x軸為角度時：
±7.5804535084227...°
±179.6811235695917...°
±360.15908484761767...°
...
|notes =k是一個整數。
}}
餘割（Cosecant，\csc）是三角函数的一种。它的定义域不是k\pi（或，其中k為整數）的整个实数集，值域是絕對值大於等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为2 \pi（360°）。

餘割是三角函数的餘函數（餘弦、餘切、餘割、餘矢）之一，所以在2k \pi（）到2 k \pi + \frac{\pi}{2}（）的區間之間，函數是遞减的，另外餘割函数和正弦函数互為倒數。

在單位圓上，餘割函数位於割線上，因此將此函數命名為餘割函数。

和其他三角函數一樣，餘割函数一樣可以擴展到複數。

符号史
余割的符号为\csc，取自英文，其又源於拉丁文的及。

定义
直角三角形中
在直角三角形中，一个銳角\angle A的餘割定義為它的斜邊與對邊的比值，也就是：
: \csc \theta = \frac {\mathrm{c}}{\mathrm{a}}

其定義與正弦函數互為倒數。

直角坐标系中
设\alpha是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，P\left( {x,y} \right)是角的终边上一点，r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0是P到原点O的距离，则\alpha的余割定义为：

:\csc \alpha = \frac{r}{y}

单位圆定义
]]

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角\theta，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于\sin \theta。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了\csc \theta = \frac{1}{y}。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于2\pi（360°）或小于-2\pi（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，餘割变成了周期为2\pi（360°）的周期函数：

:\csc\theta = \csc\left(\theta + 2\pi k \right) = \csc\left(\theta + 360^\circ k \right)

对于任何角度\theta和任何整数k。

與其他函數定義
餘割函數和正弦函數互為倒數

即：
:\csc x = \frac{1}{\sin x}

級數定義
餘割也能使用泰勒級數來定義：
:\csc x = \frac{1}{x}+\frac{x}{6}+\frac{7 x^3}{360}+\frac{31 x^5}{15120}+\frac{127 x^7}{604800}+\frac{73 x^9}{3421440}+...=\sum^{\infty}_{n=1} \frac{2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}.

其中B_{2n}為伯努利數。

另外，我们也有
:\csc x=\frac{1}{x}+2x\sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^n}{-n^2 \pi^2+x^2} .

微分方程定义
:\csc ' x=-\csc x \cot x

:\csc x =\left( \ln \left |\csc x - \cot x\right | \right) '

指数定义
\csc \theta = \frac{2\mathrm{i}}{e^{{\mathrm{i}}\theta} - e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,

恆等式
和差角公式
:\csc(\theta\pm\psi)=\frac{\csc\theta\csc\psi}{\cot\psi\pm\cot\theta}

參見

• 正弦
• 餘弦
• 正切
• 餘切
• 正割
• 三角学
• 三角函数
• 函數
• 正弦波

Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens