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在標準模型裏，希格斯機制（）是一種生成質量的機制，能夠使基本粒子獲得質量。為什麼費米子、W玻色子、Z玻色子具有質量，而光子、膠子的質量為零？造成自發對稱性破缺，因此規範玻色子會獲得質量，同時生成一種零質量玻色子，稱為戈德斯通玻色子，而希格斯玻色子則是伴隨著希格斯場的粒子，是希格斯場的振動。通過選擇適當的規範，戈德斯通玻色子會被抵銷，只存留帶質量希格斯玻色子與帶質量規範向量場。
費米子也是因為與希格斯場相互作用而獲得質量，但它們獲得質量的方式不同於W玻色子、Z玻色子的方式。在规范场论裏，為了滿足局域規範不變性，必須設定費米子的质量為零。通過湯川耦合，費米子也可以因為自發對稱性破缺而獲得質量。另一組為彼得·希格斯，第三組為傑拉德·古拉尼、卡爾·哈庚和湯姆·基博爾。古拉尼於1965年、希格斯於1966年又各自更進一步發表論文探討這模型的性質。這些論文表明，假若將規範不變性理論與自發對稱性破缺的概念以某種特別方式連結在一起，則規範玻色子必然會獲得質量。1967年，史蒂文·溫伯格與阿卜杜勒·薩拉姆首先應用希格斯機制來打破電弱對稱性，並且表述希格斯機制怎樣能夠併入稍後成為標準模型一部分的謝爾登·格拉肖的電弱理論。
六位物理學者分別發表的三篇論文，在《物理評論快報》50周年慶祝文獻裏被公認為里程碑論文。2010年，他們又榮獲理論粒子物理學櫻井獎。
因為“次原子粒子質量的生成機制理論，促進了人類對這方面的理解，並且最近由歐洲核子研究組織屬下大型強子對撞機的超環面儀器及緊湊緲子線圈探測器發現的基本粒子證實”，恩格勒、希格斯榮獲2013年諾貝爾物理學獎。
U(1)希格斯機制
U(1)希格斯機制是一種很簡單的賦予質量的機制，適用於U(1)規範場論。U(1)規範場論的規範變換涉及到相位變換：\phi\to \phi'=e^{i\theta}\phi；其中，\phi是複值希格斯場，\theta是相位。這種變換是U(1)變換，所涉及的是阿貝爾群，因此是一種「阿貝爾希格斯機制」。
假定遍佈於宇宙的希格斯場是由兩個實函數\phi_1、\phi_2組成的複值純量場\phi：
:\phi(x^{\alpha})=\phi_1(x^{\alpha})+i\phi_2(x^{\alpha})；
其中，x^{\alpha}=\left(ct,x_1,x_2, x_3\right)是四維坐標。
對於這自旋為零、質量為m、勢能為V(\phi^*\phi)的純量場，克莱因-戈尔登拉格朗日量\mathcal{L}為
:\mathcal{L}=(\partial_{\alpha} \phi)^(\partial^{\alpha} \phi)-m^2\phi^\phi -V(\phi^*\phi)。
暫時假設質量項目不存在，則克莱因-戈尔登拉格朗日量的形式變為
:\mathcal{L}=(\partial_{\alpha} \phi)^(\partial^{\alpha} \phi) -V(\phi^\phi)；
其中，\partial_{\alpha}=\left(\frac{\partial}{\partial x^0}, \frac{\partial}{\partial x^1}, \frac{\partial}{\partial x^2}, \frac{\partial}{\partial x^3}\right)是四維導數算子。
這是個波動方程式，可以用來描述電磁波處於位勢的物理行為。從這方程式，似乎找不到任何質量的蛛絲馬跡。
局域規範不變性
對於全域相位變換\phi\to \phi'=e^{i\theta}\phi，由於相位\theta是常數，拉格朗日量\mathcal{L}具有全域規範不變性：
:\begin{align}\mathcal{L}\to \mathcal{L}' & =(\partial_{\alpha} \phi')^(\partial^{\alpha} \phi')-V(\phi'^\phi') \\
& =[\partial_{\alpha}(e^{i\theta} \phi)]^[\partial^{\alpha}(e^{i\theta} \phi)]-V(\phi^\phi) \\
& =\mathcal{L}
\end{align} 。
但是，假設\theta是變數，隨著時空坐標不同而改變：
:\theta=q\eta(x^{\alpha})；
其中，q是電荷。
則為了要滿足局域規範不變性，必須將\mathcal{L}的偏導數\partial_{\alpha}改換為協變導數\mathcal{D}_{\alpha}，這變換與前面提到的相位變換合稱為「規範變換」：
設想某種對稱群變換，只能將最低能量態變換為自己，則稱最低能量態對於這種變換具有「不變性」，即最低能量態具有這種對稱性。儘管一個物理系統的拉格朗日量對於某種對稱群變換具有不變性，並不意味著它的最低能量態對於這種對稱群變換也具有不變性。假若拉格朗日量與最低能量態都具有同樣的不變性，則稱這物理系統對於這種變換具有「外顯的對稱性」；假若只有拉格朗日量具有不變性，而最低能量態不具有不變性，則稱這物理系統的對稱性被自發打破，或者稱這物理系統的對稱性被隱藏，這現象稱為「自發對稱性破缺」。
如右圖所示，假設在墨西哥帽（sombrero）的帽頂有一個圓球。这個圓球是處於旋轉對稱性狀態，對於繞著帽子中心軸的旋轉，圓球的位置不變。這圓球也處於局部最大引力勢的狀態，極不稳定，稍加微擾，就可以促使圓球滾落至帽子谷底的任意位置，因此降低至最小引力勢位置，使得旋轉對稱性被打破。儘管這圓球在帽子谷底的所有可能位置因旋轉對稱性而相互關聯，圓球實際實現的帽子谷底位置不具有旋轉對稱性──對於繞著帽子中心軸的旋轉，圓球的位置會改變。在帽子谷底有無窮多個不同、簡併的最低能量態，都具有同樣的最低能量。對於繞著帽子中心軸的旋轉，會將圓球所處的最低能量態變換至另一個不同的最低能量態，除非旋轉角度為360°的整數倍數，所以，圓球的最低能量態對於旋轉變換不具有不變性，即不具有旋轉對稱性。總結，這物理系統的拉格朗日量具有旋轉對稱性，但最低能量態不具有旋轉對稱性，因此出現自發對稱性破缺現象。，這純量場\varphi_1即是質量為\sqrt{2}\mu的希格斯玻色子，是希格斯場對於最低能量態在徑向方面的漲落。第三個項目是純量場\varphi_2的自由拉格朗日量，它沒有質量項目，這純量場\varphi_2即是零質量的戈德斯通玻色子。第四個、第五個項目是規範向量場A_{\alpha}的自由拉格朗日量\frac{1}{4}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}與質量項目q^2 v^2 A_{\alpha}A^{\alpha}/2，這規範向量場A_{\alpha}是質量為|q|\mu/\sqrt{\lambda}的規範玻色子。剩下的\mathcal{L}_{int}代表這幾個量子場彼此之間相互作用，在這裏不多做說明。
按照這結果，應該可以從做實驗證實戈德斯通玻色子存在。帶質量粒子比較難製成，粒子加速器必須使用很高的能量來碰撞製成帶質量粒子。零質量粒子案例跟重質量粒子案例不同，零質量粒子很容易製成，或者可從缺失能量或動量推測其存在。然而，事實並非如此，物理學者無法找到其存在的任何蛛絲馬跡。
標準模型
在標準模型裏，假若溫度足夠高，物理系統的電弱對稱性沒有被打破，則所有基本粒子都不具有質量。當溫度降到低於臨界溫度，希格斯場會變得不穩定，會躍遷至最低能量態，即量子力學的真空，整個物理系統的連續對稱性因此被自發打破，W玻色子、Z玻色子、費米子也因此會獲得質量。
局域規範不變性
SU(2)×U(1)規範場論的相位變換形式為：
:\phi\to \phi'
=S\phi；
其中，S=e^{i\eta/2}e^{i\mathbf{w}\cdot\boldsymbol{\sigma}/2}是變換矩陣，\mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3)是參數為時空坐標x^{\alpha}的向量函數，\boldsymbol{\sigma}是三個包立矩陣\sigma_1、\sigma_2、\sigma_3共同組成的矩陣向量。
由於三個包立矩陣彼此之間不能對易，SU(2)是非阿貝爾群，這機制是「非阿貝爾希格斯機制」。
指數函數e^{i\mathbf{w}\cdot\boldsymbol{\sigma}/2}的參數是一個矩陣：
:\mathbf{w}\cdot\boldsymbol{\sigma}=w_j \sigma_j=\begin{pmatrix}
w_3 & w_1-i w_2 \\
w_1+i w_2 & -w_3
\end{pmatrix} 。
這指數函數等於
:e^{i\mathbf{w}\cdot\boldsymbol{\sigma}/2}=\mathbb{I}\cos{(w/2)}+i(\hat{\mathbf{w}}\cdot\boldsymbol{\sigma})\sin{(w/2)}；
其中，\mathbb{I}是單位矩陣，w是\mathbf{w}的數值大小，\hat{\mathbf{w}}=\mathbf{w}/w是單位向量。
為了要滿足局域規範不變性，必須將\mathcal{L}的偏導數\partial_{\alpha}改換為協變導數\mathcal{D}_{\alpha}，這變換與前面提到的相位變換合稱為「規範變換」：
:\langle\phi\rangle_{vac} ={\left ( \begin{matrix} 0
\\ v/\sqrt{2} \end{matrix} \right )} 。
設定四個新實函數\varphi_1、\varphi_2、h、\varphi_4來代表對於最低能量態的漲落所產生的量子場：
:\phi(x^\alpha) ={\left ( \begin{matrix} \phi_1 + \mathrm{i} \phi_2\\ \phi_3 + \mathrm{i} \phi_4 \end{matrix} \right )}=\frac{1}{\sqrt{2}}{\left ( \begin{matrix} \varphi_1 + \mathrm{i} \varphi_2\\ v+h + \mathrm{i} \varphi_4 \end{matrix} \right )} 。
採用么正規範（unitary gauge）這動作抵銷了三個戈德斯通玻色子。希格斯場變為
:\phi =\frac{1}{\sqrt{2}}{\left ( \begin{matrix} 0
\\ v+h \end{matrix} \right )} 。
將這公式代入拉格朗日量，注意到規範玻色子的質量是來自於動能項目的改變：
:\begin{align}\Delta\mathcal{L}_{KE} & =\Delta[(D_{\alpha} \phi)^{\dagger}(D^{\alpha}\phi)] \\
& =\frac{1}{8}(0, v)(g_W\mathbf{W}_{\alpha}\cdot\boldsymbol{\sigma}+g_B B_\alpha) (g_W\mathbf{W}^{\alpha}\cdot\boldsymbol{\sigma}+g_B B^\alpha){\left ( \begin{matrix} 0
\\ v \end{matrix} \right )} \\
& =\frac{v^2}{8}[{g_W}^2(W_\alpha^1)^2+{g_W}^2(W_\alpha^2)^2+(-g_W W_\alpha^3+{g_B}B_\alpha)^2] \\
\end{align}
。
設定W玻色子W_\alpha^{\pm}、Z玻色子Z_\alpha、光子A_\alpha分別為
:W_\alpha^{\pm}=\frac{1}{\sqrt{2}}(W_\alpha^1\mp i W_\alpha^2)、
:Z_\alpha=\frac{1}{\sqrt{{g_W}^2+{g_B}^2}}(g_W W_\alpha^3-g_B B_\alpha)、
:A_\alpha=\frac{1}{\sqrt{{g_W}^2+{g_B}^2}}(g_W W_\alpha^3+g_B B_\alpha)。
從普羅卡拉格朗日量，可以推斷W玻色子、Z玻色子的質量分別為m_W=g_W\ v/2、m_Z=\sqrt{{g_W}^2+{g_B}^2}\ v/2，而光子的質量為零。
經過一番推導，可以查明g_W是弱耦合常數，與電磁耦合常數g_{EM}的關係為
:g_{EM}=\frac{g_W g_B}{{g_W}^2+{g_B}^2} 。
定義弱混合角（weak mixing angle）\theta_W為
: \begin{pmatrix}
A \\
Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\cos \theta_W & \sin \theta_W \\
-\sin \theta_W & \cos \theta_W \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
B \\
W \end{pmatrix} 。
以耦合常數g_B與g_W來表達，
:\cos\theta_W = \frac{g_W}{\sqrt{{g_W}^2+{g_B}^2}}、
:\sin\theta_W = \frac{g_B}{\sqrt{{g_W}^2+{g_B}^2}}。
所以，
:g_{EM}=g_W\sin\theta_W=g_B\cos\theta_W。
W玻色子與Z玻色子之間的質量關係為
:m_W=m_Z\cos\theta_W。
這關係式也可以做為弱混合角的數學定義式。
費米子質量
對於費米子的拉格朗日量\mathcal{L}，除了希格斯項目\mathcal{L}_H、規範項目\mathcal{L}_G以外，必須再添加一個費米子項目\mathcal{L}_F：
:\mathcal{L}=\mathcal{L}_H+\mathcal{L}_G+\mathcal{L}_F。
這費米子項目為描述自旋1/2費米子自由傳播的狄拉克拉格朗日量：
:\mathcal{L}_F=i\,\overline{\psi}\gamma^{\alpha} \partial_{\alpha} \psi -m\overline{\psi}\psi；
其中，\psi是費米子的狄拉克旋量（Dirac Spinor），\overline{\psi}\ \stackrel{def}{=}\ \psi^{\dagger}\gamma^0是其伴隨旋量，\gamma^{\alpha}是狄拉克矩陣，m是費米子的質量。
這方程式右手邊第一個項目是動能項目，第二個項目是質量項目。
狄拉克旋量可以按照手徵性分解為左手狄拉克旋量\psi_L與右手狄拉克旋量\psi_R ︰
:\psi_L= \frac{1-\gamma^5}{2}\psi、
:\psi_R= \frac{1+\gamma^5}{2}\psi ；
其中，\gamma^5是第五個狄拉克矩陣，(1\mp\gamma^5)/2是投影算符，可以挑選出狄拉克旋量的左手部分或右手部分。
物理學者做實驗發現，W玻色子只與左手費米子彼此相互作用，費米子的左手部分與右手部分，兩者的物理性質大不相同。因此，為了要正確地分析每一個部分，必須將費米子項目按照手徵性分為左手項目、右手項目。費米子動能項目可以改寫為
:i\,\overline{\psi}\gamma^{\alpha} \partial_{\alpha} \psi=i\,\overline{\psi}_L \gamma^{\alpha} \partial_{\alpha} \psi_L+i\,\overline{\psi}_R \gamma^{\alpha} \partial_{\alpha} \psi_R。
由於在規範場論裏，左手費米子與右手費米子的規範群表現不一樣。，偏導數\partial_{\alpha}必須按照手徵性分別改換為不同的協變導數\mathcal{D}_{L\alpha}、\mathcal{D}_{R\alpha}，才能滿足局域規範不變性：
:\partial_{\alpha}\to\mathcal{D}_{L\alpha}=(\partial_{\alpha}- i\frac{g_B}{2}Y_L B_\alpha)\mathbb{I}-i\frac{g_W}{2}\mathbf{W}_{\alpha}\cdot\boldsymbol{\sigma}、
:\partial_{\alpha}\to\mathcal{D}_{R\alpha}=\partial_{\alpha}- i\frac{g_B}{2}Y_RB_\alpha；
其中，\mathbb{I}是單位矩陣，Y_L與Y_R分別為左手費米子與右手費米子的弱超荷。
注意到\mathcal{D}_{L\alpha}是一個2×2矩陣算符，而\mathcal{D}_{R\alpha}是一個純量算符。應用這性質，設定SU(2)二重態來表示左手費米子，SU(2)單態來表示右手費米子，就可以促使W玻色子只與左手費米子彼此相互作用。例如，對於第一代輕子，左手二重態、右手單態分別為
:E_L ={\left ( \begin{matrix} \nu_e\\ e \end{matrix} \right )}_L 、e_R；
其中，\nu_e、e分別是微中子、電子的狄拉克旋量。
費米子質量項目以\psi_L、\psi_R表示為
:-m\,\overline{\psi}\psi=-m\,\overline{\psi}_L\psi_R-m\,\overline{\psi}_R\psi_L。
由於\psi_L、\psi_R所涉及的SU(2)L變換與U(1)Y變換都不一樣，質量項目不能夠滿足局域規範不變性，必須設定m=0。在標準模型裏，遵守規範理論，所有費米子的質量都必須設定為零。這樣，費米子項目變為只擁有遵守手徵對稱性的動能項目：
:\mathcal{L}_F=i\,\overline{\psi}_L \gamma^{\alpha} D_{L\alpha} \psi_L+i\,\overline{\psi}_R \gamma^{\alpha} D_{R\alpha} \psi_R。
希格斯機制可以促使費米子獲得質量，通過添加湯川耦合項目\mathcal{L}_{Yukawa}在希格斯拉格朗日量\mathcal{L}_H裏，可以達成這目標：
:\mathcal{L}_{Yukawa}=-\lambda_e (\overline{E}_L \phi e_R+\overline{e}_R \phi^{\dagger} E_L)；
其中，\lambda_e是電子的「湯川耦合常數」。
由於自發對稱性破缺，採用么正規範，希格斯場會變為
:\phi =\frac{1}{\sqrt{2}}{\left ( \begin{matrix} 0
\\ v+h \end{matrix} \right )} ，
湯川耦合項目會生成電子質量：
:\Delta\mathcal{L}_{Yukawa}=-\ \frac{\lambda_e v }{\sqrt{2}}(\overline{e}_L e_R+\overline{e}_R e_L)。
很明顯地，電子質量m_e為
:m_e=\lambda_e v/\sqrt{2}。
類似地，希格斯機制可以促使其他種費米子獲得質量。對於為甚麼每一種費米子都有其特定的湯川耦合常數\lambda_F，希格斯機制並沒有給出任何說明。標準模型裏的自由參數大多數都是湯川耦合常數
参阅
*希格斯玻色子的實驗探索
*探尋希格斯玻色子時間軸
註釋
參考文獻
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