自然對數

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自然对数（）為以数学常数e為底數的对数函数，標記作\ln x或\log_e x，其反函数為指數函數e^x。

自然对数积分定義為對任何正實數x，由1到x所圍成，xy=1曲線下的面積。如果x小於1，則計算面積為負數。
:\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}\,
e則定義為唯一的實數x使得\ln x = 1。

自然对数一般表示為\ln x\!，數學中亦有以\log x\!表示自然對數。{{notetag|若要避免與底為10的常用對數 \log x\! 混淆，可用「全寫」 \log_{\boldsymbol{e}} x\! 。}}

歷史
十七世纪
是笛卡爾平面\{(x,y)\}上的一個區域，由從原點到(a,\frac{1}{a})和(b,\frac{1}{b})的射線，以及雙曲線xy=1圍成。在標準位置的雙曲線扇形有a=1且b>1，它的面積為\ln(b)，此時雙曲線扇形對應正雙曲角。]]
，\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{x_0}=k，y的值也呈等比數列，\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1}{x_0}=\frac{1}{k}。]]
約翰·納皮爾在1614年以及约斯特·比尔吉在6年後，分別發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數。當時還沒出現有理數冪的概念，按後世的觀點，約翰·納皮爾的底數0.999999910000000相當接近\frac{1}{e}，而约斯特·比尔吉的底數1.000110000相當接近自然對數的底數e。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法於1624年部份完成了常用對數表的編制。

形如f(x)=x^p的曲線都有一個代數反導數，除了特殊情況p=-1對應於雙曲線的，即雙曲線扇形；其他情況都由1635年發表的給出，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成（拋物線的弓形面積），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年將對數聯繫於雙曲線xy=1的弓形面積，他發現x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同[c,d]對應的扇形，在\frac{a}{b}=\frac{c}{d}時面積相同，這指出了雙曲線從x=1到x=t的積分f(t)滿足：
:f(tu) = f(t) + f(u)\,
1649年，將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，伊薩克·牛頓推廣了二項式定理，他將\frac{1}{1+x}展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡托級數。

十八世纪
大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為：
:e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n,
:\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n\left(x^{\frac{1}{n}} - 1\right)
1742年威廉·琼斯發表了現在的冪指數概念。

形式定義
歐拉定義自然對數為序列的極限：
:\ln(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n\left(x^{\frac{1}{n}} - 1\right).

\ln (a)正式定義為積分，
:\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.

這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:
:\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b). \,\!

這可以通過將定義了\ln(ab)的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元x=ta來證實:
:
\ln (ab)
= \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx
= \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx
=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{at} \; d(at)

::
=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt
= \ln (a) + \ln (b).

冪公式\ln (t^r)=r\ln (t)可如下推出:
:
\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{u^r} d\left(u^{r}\right) = \int_1^t \frac{1}{u^r} \left(ru^{r - 1} \, du\right) = r \int_1^t \frac{1}{u} \, du = r \ln(t).

第二個等式使用了換元u=x^{\frac{1}{r}}。

自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：
: \ln(x) = -\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^\infty \frac{dt}{t}\left( e^{-xt} - e^{-t} \right).

性質

\ln(1) =\int_1^1 \frac{1}{t}\,dt=0 \,
\operatorname{ln}(-1) = i \pi \,

::(參見複數對數)

\ln(x)
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \,
\ln(x^y) = y \, \ln(x) \,
\frac{x-1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1 \quad{\rm for}\quad x > 0 \,
\ln{( 1+x^\alpha )} \leq \alpha x \quad{\rm for}\quad x \ge 0, \alpha \ge 1 \,

導數
自然對數的導數為
:\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,

證明一（微積分第一基本定理）:\frac{d}{dx} \ln(x)=\frac{d}{dx} \int_1^x \frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{x}

證明二：[https://www.youtube.com/watch?v=yUpDRpkUhf4&list=PL19E79A0638C8D449&index=28 按此影片]
:\frac{d}{dx} \ln (x) =\lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}

:::: =\lim_{h \to 0} \frac{\ln(\frac{x+h}{x})}{h}
::::=\lim_{h \to 0} \left[ \frac{1}{h} \ln\left( 1 + \frac{h}{x} \right)\right]\quad
::::= \lim_{h \to 0} \ln\left( 1 + \frac{h}{x} \right)^\frac{1}{h}

设u=\frac{h}{x} \Rightarrow ux=h
:\frac{1}{h}=\frac{1}{ux}

:\frac{d}{dx} \ln (x)=\lim_{u \to 0} \ln (1+u)^\frac {1}{ux}

::::=\lim_{u \to 0}\ln\left[(1+u)^\frac{1}{u} \right]^\frac{1}{x}
::::=\frac{1}{x} \lim_{u \to 0} \ln(1+u)^\frac {1}{u}

设n=\frac{1}{u} \Rightarrow u=\frac{1}{n}

:\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} \lim_{n \to \infty} \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n

::::=\frac{1}{x} \ln \left [ \lim_{n \to \infty}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right ]
::::=\frac{1}{x} \ln e
::::=\frac {1}{x}

用自然對數定義的更一般的對數函數，\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}，根據其逆函數即一般指數函數的性質，它的導數為：
: \frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}.
根據鏈式法則，以f(x)為參數的自然對數的導數為
:\frac{d}{dx} \ln[f(x)] = \frac{f'(x)}{f(x)}.
右手端的商叫做f的，通過\ln(f(x))的導數的方法計算f'(x)叫做對數微分。

冪級數
自然對數的導數性質導致了\ln(1+x)在0處的泰勒級數，也叫做麥卡托級數：
:\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots
::對於所有\left|x\right| \leq 1,但不包括x = -1.
把x-1代入x中，可得到\ln(x)自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換，可以得到對絕對值大於1的任何x有效的如下級數:
:\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots \,.
這個級數類似於贝利-波尔温-普劳夫公式。

還要注意到 x \over {x-1} 是自身的逆函數，所以要生成特定數y的自然對數，簡單把 x \over {x-1} 代入x中。

:\ln{x} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n}} \left( {x - 1 \over x} \right)^n = \left( {x - 1 \over x} \right) + {1 \over 2} \left( {x - 1 \over x} \right)^2 + {1 \over 3} \left( {x - 1 \over x} \right)^3 + \cdots \,
::對於\operatorname{Re} (x) \geq \frac12 \,.

自然數的倒數的總和
:1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},
叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫：當n趨於無窮的時候，差
:\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),
收斂於欧拉-马歇罗尼常数。這個關係有助於分析算法比如快速排序的性能。

積分
自然對數通過分部積分法積分:

:\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.

假設:

:u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{dx}{x}
:dv = dx \Rightarrow v = x\,

所以:

:
\begin{align}
\int \ln (x) \,dx & = x \ln (x) - \int \frac{x}{x} \,dx \\
& = x \ln (x) - \int 1 \,dx \\
& = x \ln (x) - x + C
\end{align}

自然對數可以簡化形如g(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}的函數的積分：g(x)的一個原函數給出為\ln(\left \vert f(x) \right \vert)。這是基於鏈式法則和如下事實:
:\ {d \over dx}\ln \left| x \right| = {1 \over x}.

換句話說，
:\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C
且
:\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.

例子
下面是g(x)=\tan x的例子：

:\begin{align}
\int \tan x \,dx &= \int {\sin x \over \cos x} \,dx \\
&= \int {-{d \over dx} \cos x \over {\cos x}} \,dx. \\
\end{align}

設f(x)=\cos x且f'(x)=-\sin x：
:\begin{align}\int \tan x \,dx &= -\ln{\left| \cos x \right|} + C \\
&= \ln{\left| \sec x \right|} + C \\
\end{align}

與雙曲函數的關係
(方程y=\frac{1}{x})下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於雙曲角u的雙曲線扇形(紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數中\cosh和\sinh的\sqrt{2}倍。]]
\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1於點\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)，這裡的\scriptstyle a是射線、雙曲線和\scriptstyle x軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。]]
在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特介入雙曲函數，並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積。對數函數是在直角雙曲線xy=1下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線y=x上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角u，在漸近線即x或y軸上需要有的x或y的值。顯見這裡的底邊是\left(e^u + e^{ -u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}，垂線是\left(e^u - e^{-u}\right) \frac{\sqrt{2}}{2}。

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：
*\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}
*\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}
單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線xy=1下雙曲角的\frac{1}{2}。

連分數
儘管自然對數沒有簡單的連分數，但有一些廣義連分數如:

:\begin{align}
\ln (1+x) &= \frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots \\
&= \cfrac{x}{1-0x+\cfrac{1^2x}{2-1x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}} \\
\end{align}

:
\begin{align}
\ln \left( 1+\frac{x}{y} \right) &= \cfrac{x} {y+\cfrac{1x} {2+\cfrac{1x} {3y+\cfrac{2x} {2+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {2+\ddots}}}}}} \\
&= \cfrac{2x} {2y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(2y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(2y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(2y+x)-\ddots}}}} \\
\end{align}

這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。

例如，因為2=1.25^3\times 1.024，2的自然對數可以計算為:
:
\begin{align}
\ln 2 &= 3 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + \ln \left( 1+\frac{3}{125} \right) \\
&= \cfrac{6} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}}

\cfrac{6} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}. \\

\end{align}

進而，因為10=1.25^{10}\times 1.024^3，10的自然對數可以計算為:
:
\begin{align}
\ln 10 &= 10 \ln \left( 1+\frac{1}{4} \right) + 3\ln \left( 1+\frac{3}{125} \right) \\
&= \cfrac{20} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}}

\cfrac{18} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}. \\

\end{align}

複數對數
指數函數可以擴展為對任何複數x得出複數值為e^x的函數，只需要簡單使用x為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難：不存在x使得e^x=0；並且有著e^{2\pi i}=1=e^0。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，e^z=e^{z+2n\pi i}，對於所有複數z和整數n。

所以對數不能定義在整個複平面上，並且它是多值函數，就是說任何複數對數都可以增加2\pi i的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如，\log i=\frac{1}{2}\pi i或\frac{5}{2}\pi i或-\frac{3}{2}\pi i等等；儘管i^4=1，4\log=i不能定義為2\pi i或10\pi i或-6\pi i，以此類推。

主值定義
對於每個非0複數z=x+yi，主值\log z是虛部位於區間(-\pi, \pi]內的對數。表達式\log 0不做定義，因為沒有複數w滿足e^w=0。

要對\log z給出一個公式，可以先將z表達為極坐標形式，z=re^{i\theta}。給定z，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向\theta增加2\pi的整數倍，所以為了保證唯一性而要求\theta位於區間(-\pi, \pi]內；這個\theta叫做幅角的主值，有時寫為\operatorname{arg} z或\operatorname{atan}2(y,x)。則對數的主值可以定義為：

::\operatorname{Log} z := \text{ln } r + i \theta = \ln |z| + i \operatorname{Arg} z = \operatorname{ln}\sqrt{x^2+y^2} + i \operatorname{atan2}(y,x).

例如，\operatorname{Log}(-3i)=\ln 3-\frac{\pi i}{2}。

科学應用
自然指数有应用於表达放射性衰變的过程，如放射性原子数目的微分方程N随时间变化率\frac{dN}{dt}=-pN，常数p为原子衰变概率，积分得N(t)=N(0)\exp (-pt)。

註釋
参考资料
延伸阅读
John B. Conway, Functions of one complex variable*, 2nd edition, Springer, 1978.
Serge Lang, Complex analysis*, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
Gino Moretti, Functions of a Complex Variable*, Prentice-Hall, Inc., 1964.
Donald Sarason, [http://books.google.com/books?id=FUWPyHM-XK0C&pg=PA40&dq=logarithm+intitle:Complex+intitle:function+intitle:theory+inauthor:sarason&lr=&as_brr=0&ei=df4UScGONJ_EtAPZ5-XjCw Complex function theory] *, 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.

and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.

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