整除是数学中两自然数间一种关系。自然数甲可被自然数乙整除，是指乙是甲的因數，且甲是乙的整数倍数，也就是甲除以乙没有餘数。下面列出了十进制中判断整数除以另一整数的商为整数，且余数为零的一些规则。

基本判别
*0：所有非0的整數之倍數。
*±1：所有整數之因數。

可于最后几位判别
2和5都是10的因数，在十进制判別是否有2^k或5^k的因數只須取其最後k位，除以2^k或5^k，可除盡即是：

*±2：所有偶數（0、2、4、6、8結尾）皆有此因數。如2、−6、989896、11111112、−454
*±4：最後兩位數可以被4除盡，即是。如9898989898540→40/4＝10
*±8：若最後三位數可以被8除盡，即是。如8000、1256000、95872
*±5：查看最後一位數。如果可以被5除盡（為0或5），即是。如5454545、45454500、50
*±10：看最後一位數為0（即末两位为10的整倍数）即是。如530、73500、50
*±2^n：最後n位數可以被2^n除盡。
*±5^n：最後n位數可以被5^n除盡。
*±10^n：最後n位數字都全部是0。

上面的性质亦可推广到求余数：

\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^{k-1} 10^r a_r \pmod{2^k}

\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^{k-1} 10^r a_r \pmod{5^k}

\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^{k-1} 10^r a_r \pmod{10^k}

甚至非十进制下也是一样。例如十二进制：2、3、4、6都是12的因数，故某数的末k位除以2^k、3^k、4^k、6^k，所得余数与原数同余。

可由各数位判别
\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^n a_r \pmod{3}

\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^n a_r \pmod{9}

*±3：所有位數加起來為3的倍數，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/3＝27/3＝9
*±9：所有位數加起來為9的倍數，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/9＝27/9＝3

注意到我们现在是在十进制运算，而9＝10－1。对于任意p进制的非负整数除法，当除数是p-1时被除数中所有数字相加的和仍与该被除数同余。
证明：

如被除数为零，命题是平凡。

在任何p进制，首先考虑仅有最高位数字非零、其余位均是零的正数，该数可写成d p^i，其中d是最高位（第i位）数字、1\le d \le p-1，而p^i表示后面有i个零。（p进制逢p进一，p的i次方自然是1后面i个零。）

那么d p^i=d p^{i-1} p，除以p-1得\frac{d p^{i-1} p}{p-1} = \frac{d p^{i-1}(p-1)+d p^{i-1}}{p-1}，前项显然整除，故d p^i = d p^{i-1}(p-1)+d p^{i-1} \equiv d p^{i-1} \pmod{p-1}，推论得d p^i \equiv d p^0 = d \pmod{p-1}。

而任何p进制正整数均可写成\sum_{i=0}^n d_i p^i的形式，根据上面的结果，这个和（即是该数本身）显然与所有数字之和\sum_{i=0}^n d_i同余。证毕。

\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv \sum_{r=0}^n (-1)^r a_r \pmod{11}

*±11：將其奇數位之和及偶數位之和相減，如果是0、11等11的倍數，即是。如19866→1＋8＋6－（9＋6）＝0

*±7，±11，±13：设正整数a=\sum_{r=0}^n 1000^r a_r，1001=7\times 11\times 13，所以

:a\equiv \sum_{r=0}^n (-1)^r a_r\pmod{7},a\equiv \sum_{r=0}^n (-1)^r a_r\pmod{13}

若a＝75312289，则a=75×1000²＋312×1000＋289，289－312＋75＝52，a能被13整除，不能被7和11整除。

合数判别
若某整數能整除某合數則某整數必同時整除所有某合數的質因數。
*±6：同時符合±2（末位是0、2、4、6、8）和±3（相加可除盡）的條件（6＝2×3），如66、7986252、99999996
*±12：同時符合±4和±3（相加可除盡）的條件（12＝2^2×3），如60

连续割头法
\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv a_0+10\sum_{r=1}^n 10^{r-1} a_r \pmod{k}

*±7：将个位前的数字乘以3再与个位数相加，得出7的倍数即7的倍数。如154→49→21→7
*±13：将个位前的数字乘以3再与个位数相减，得出13的倍数即13的倍数。如156→39→0

\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv a_0+10a_1+100\sum_{r=2}^n 10^{r-2} a_r \pmod{k}

*±23：将十位前的数字乘以15再与末兩位数相减，得出23的倍数即23的倍数。如207→23
*±31：将十位前的数字乘以7再与末兩位数相加，得出31的倍数即31的倍数。如155→62
*±37：将十位前的数字乘以11再与末兩位数相减，得出37的倍数即37的倍数。如333→0

连续割尾法
若\sum_{r=0}^n 10^r a_r \equiv 0 \pmod{k}，且10x \equiv 1 \pmod{k}

則a_0+10\sum_{r=1}^n 10^{r-1} a_r \equiv xa_0+\sum_{r=1}^n 10^{r-1} a_r \equiv 0 \pmod{k}

*±7：将个位数乘以2再与个位前的数字相減，得出7的倍数即7的倍数。如154→7
*±19：将个位数乘以2再与个位前的数字相加，得出19的倍数即19的倍数。如152→19

2到31的整除规则总表
参见
*除法、短除法
*因数
*同余

参考资料