指数增长（包括指数衰减）指一个函数的增长率与其函数值成比例。在定义域为离散的且等差的情况下。
指数增长模型也称作马尔萨斯增长模型。
基本公式
变量x指数地依赖时间t，若
:x(t)=a\cdot b^{\frac{t}{\tau}}\,
其中常数a是x的初始值，
:x(0)=a\, ,
并且，常数b是正的增长率，τ为x增长b倍所需时间：
:x(t+\tau)=x(t)\cdot b\, .
若τ > 0且b > 1，则x为指数增长。若τ 1，或τ > 0且0 \scriptstyle x(t)=ae^{kt}满足线性微分方程：
: \!\, \frac{dx}{dt} = kx
则称t时刻x的增长率与函数值x(t)成正比，且初值为：
:x(0)=a.\,
对于\scriptstyle a>0微分方程可以使用分离变量法求解：
:\frac{dx}{dt} = kx
:\Rightarrow \frac{dx}{x} = k\, dt
:\Rightarrow \int \frac{dx}{x} = \int k \, dt
:\Rightarrow \ln x = kt + \text{constant}\, .
考虑到给定初值：
:\ln x = kt + \ln a\,
:\Rightarrow x = ae^{kt}\,
这种解法对于\scriptstyle a\le0同样适用。
对于该增长模型的非线性变体，请参考Logistic函數。
相關條目
- 指数衰减
- 摩爾定律
- 国际象棋盘与麦粒问题
文內注釋
資料引用
- Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers, and William W. Behrens III. (1972) The Limits to Growth. New York: University Books. ISBN 0-87663-165-0
- Porritt, J. Capitalism as if the world matters, Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
- Thomson, David G. Blueprint to a Billion: 7 Essentials to Achieve Exponential Growth, Wiley Dec 2005, ISBN 0-471-74747-5
- Tsirel, S. V. 2004. [https://web.archive.org/web/20160304034147/http://www.mmsed.narod.ru/articles/artTsirel.ps On the Possible Reasons for the Hyperexponential Growth of the Earth Population]. Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics / Ed. by M. G. Dmitriev and A. P. Petrov, pp. 367–9. Moscow: Russian State Social University, 2004.
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