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量子纏結

Wikipedia · 2026-07-11 维基百科 👁 1 阅读

量子糾纏，即在量子力學裏，當幾個基礎粒子在彼此相互作用後，由於各個粒子所擁有的特性已綜合成為整體性質，無法單獨描述各個粒子的性質，只能描述整體系統的性質，則稱這現象為量子-{zh-hant:纏結;zh-hans:缠结}-或量子-{zh-hant:糾纏;zh-hans:纠缠}-（quantum entanglement）。量子糾纏是一種純粹發生於量子系統的現象；在經典力學裏，找不到類似的現象。

假若對於兩個相互糾纏的基礎粒子分別測量其物理性質，像位置、動量、自旋、偏振等，則會發現量子關聯現象。例如，假設一個零自旋粒子衰變為兩個以相反方向移動分離的粒子。沿著某特定方向，對於其中一個粒子測量自旋，假若得到結果為上旋，則另外一個粒子的自旋必定為下旋，假若得到結果為下旋，則另外一個粒子的自旋必定為上旋；更特別地是，假設沿著兩個不同方向分別測量兩個粒子的自旋，則會發現結果違反貝爾不等式；除此以外，還會出現貌似佯谬般的現象：當對其中一個粒子做測量，另外一個粒子似乎知道測量動作的發生與結果，儘管尚未發現任何傳遞信息的機制，儘管兩個粒子相隔甚遠。

阿爾伯特·愛因斯坦、鮑里斯·波多爾斯基和納森·羅森於1935年發表的爱因斯坦-波多尔斯基-罗森佯谬（EPR佯谬）論述到上述現象。埃爾溫·薛丁格稍後也發表幾篇關於量子糾纏的論文，並且給出「量子糾纏」這一術語。愛因斯坦認為這種行為違背定域實在論，稱之為「鬼魅般的超距作用」(spooky action at a distance)，他總結，量子力學的標準表述不具完備性。然而，多年來完成的多個實驗證實量子力學的反直覺預言正確無誤，還檢試出定域實在論不可能正確。甚至當對於兩個粒子分別做測量的時間間隔，比光波傳播於兩個測量位置所需的時間間隔還短暫之時，這現象依然發生，也就是說，量子糾纏的作用速度比光速還快。最近完成的一項實驗顯示，量子糾纏的作用速度至少比光速快10,000倍。這還只是速度下限。根據量子理論，測量的效應具有瞬時性質。現今，研究焦點已轉至應用性階段，即在通訊、計算機領域的用途。這是最早探討量子力學理論對於強關聯系統所做的反直覺預測的一篇論文。在這篇論文裏，他們詳細表述EPR佯谬，試圖藉著一個思想實驗來論述量子力學的不完備性質。薛丁格體會到這概念的重要性，他表明，量子糾纏不只是量子力學的某個很有意思的性質，而是量子力學的特徵性質；量子糾纏在量子力學與經典思路之間做了一個完全切割。後來，愛因斯坦更譏諷量子糾纏為鬼魅般的超距作用。

EPR論文很顯然地引起了眾多物理學者的興趣，啟發他們探討量子力學的基礎理論。但是除了這方面以外，物理學者認為這論題與現代量子力學並沒有甚麼牽扯，在之後很長一段時間，物理學術界並沒有特別重視這論題，也沒有發現EPR論文可能有甚麼重大瑕疵。因此，物理學者做了很多檢試貝爾不等式的實驗。

1972年，约翰·克劳泽與史達特·弗利曼（Stuart Freedman）首先完成這種檢試實驗。1982年，阿蘭·阿斯佩的博士論文是以這種檢試實驗為題目。他們得到的實驗結果符合量子力學的預測，不符合定域性隱變量理論的預測，因此證實定域性隱變量理論不成立。但是，至今為止，每一個相關實驗都存在有漏洞，這造成了實驗的正確性遭到質疑，在作總結之前，還需要完成更多精確的實驗。

這些年來，眾多的卓越研究結果促成了應用這些超強關聯來傳遞信息的可能性，從而導致了量子密碼學的成功發展，最著名的有查尔斯·贝内特（Charles Bennett）與吉勒·布拉薩（Gilles Brassard）發明的BB84協議、阿圖爾·艾克特（Artur Eckert）發明的E91協議。

2017年6月16日，量子科学实验卫星墨子號首先成功實現，兩個量子纠缠光子被分发到相距超過1200公里的距離後，仍可繼續保持其量子糾纏的狀態。

2018年4月25日，芬蘭阿爾托大學教授麥卡·習嵐帕（Mika Sillanpää）領導的實驗團隊成功地量子糾纏了兩個獨自振動的鼓膜。每個鼓膜的寬度只有15微米，約為頭髮的寬度，是由1015個金屬鋁原子製成。通過超導微波電路，在接近絕對零度（-273°C）下，兩個鼓膜持續進行了約30分鐘的互動。這實驗演示出巨觀的量子糾纏。

基本概念
假設一個零自旋中性π介子衰變成一個電子與一個正電子{{NoteTag|假設愛麗絲先做測量電子的自旋，然後鮑勃再做測量，則當愛麗絲做測量之時刻，兩個粒子彼此之間的量子關聯也會變為經典關聯。因此，基礎而言，量子糾纏是個非經典現象。

不確定性原理的維持必須倚賴量子糾纏機制。例如，設想先前的一個零自旋中性π介子衰變案例，兩個衰變產物各自朝著相反方向移動，現在分別測量電子的位置與正電子的動量，假若量子糾纏機制不存在，則可藉著守恆定律預測兩個粒子各自的位置與動量，這違反了不確定性原理。由於量子糾纏機制，粒子的位置與動量遵守不確定性原理。

從以相對論性速度移動的兩個參考系分別測量兩個糾纏粒子的物理性質，儘管在每一個參考系，測量兩個粒子的時間順序不同，獲得的實驗數據仍舊違反貝爾不等式，仍舊能夠可靠地複製出兩個糾纏粒子的量子關聯。

數學表述
以下各小節是為那些具有量子力學正式的數學描述的一個良好的工作知識的讀者而寫，包括文章推导中熟悉的形式和理論框架：狄拉克符号(BRA-KET符號)和量子力學的數學表述。本章節涉及到密度算符概念，若不熟悉密度算符相關概念，請先閱讀條目密度算符。

嚴格定義
假設一個複合系統是由兩個子系統A、B所組成，這兩個子系統A、B的希爾伯特空間分別為H_A、H_B，則複合系統的希爾伯特空間H_{AB}為張量積
: H_{AB}=H_A \otimes H_B。

設定子系統A、B的量子態分別為| \alpha \rangle_A、| \beta \rangle_B，假若複合系統的量子態|\psi\rangle_{AB}不能寫為張量積|\alpha\rangle_A \otimes |\beta\rangle_B，則稱這複合系統為子系統A、B的纏結系統，兩個子系統A、B相互纏結。

純態
假設一個複合系統是由兩個不相互作用的子系統A、B所組成，子系統A、B的量子態分別為| \alpha \rangle_A、| \beta \rangle_B，則複合系統的量子態|\psi\rangle_{AB}為
: |\psi\rangle_{AB}=|\alpha\rangle_A \otimes |\beta\rangle_B。

這種形式的量子態稱為直積態（product state）。量子態|\psi\rangle_{AB}具有可分性（separability），是「可分態」。對於子系統A做測量，必定不會影響到子系統B；反之亦然。因此，對於這種複合系統，測量任意子系統的可觀察量時，不必考慮到另外一個子系統。

假設子系統A、B相互耦合，則複合系統的量子態|\psi\rangle_{AB}不能用單獨一項直積態表示，必須用多項直積態的量子疊加表示。量子態|\psi\rangle_{AB}不具有可分性，是「糾纏態」。假設\{|a_i \rangle_A\}、\{|b_j \rangle_B\}分別為希爾伯特空間H_A、H_B的規範正交基。在希爾伯特空間H_A \otimes H_B裏，這複合系統的量子態|\psi\rangle_{AB}可以表示為
: |\psi\rangle_{AB} = \sum_{i,j} c_{ij} |a_i\rangle_A \otimes |b_j\rangle_B；

其中， c_{ij}是複係數。

例如，假設|0\rangle_A、 |1\rangle_A分別為規範正交基\{|a_i \rangle_A\}的基底向量，|0\rangle_B、|1\rangle_B分別為規範正交基\{|b_j \rangle_B\}的基底向量。以下形式的量子態是一個糾纏態|\psi\rangle_{AB}：
: |\psi\rangle_{AB}={1 \over \sqrt{2}} \bigg( |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B \bigg)。

現在假設愛麗絲、鮑勃分別是子系統A、B的觀察者，規範正交基\{|a_i \rangle_A\}的基底向量|0\rangle_A、 |1\rangle_A為可觀察量O_A的本徵態向量，對應的本徵值分別為0、1。規範正交基\{|b_j \rangle_B\}的基底向量|0\rangle_B、 |1\rangle_B為可觀察量O_B的本徵態向量，對應的本徵值分別為0、1。假設愛麗絲測量可觀察量O_A，則結果可能有兩種結果，每一種結果發生的機率相同，都是50%：
#愛麗絲測量可觀察量O_A的結果為0，量子態塌縮為|0\rangle_A |1\rangle_B，那麼，鮑勃在之後測量可觀察量O_B的結果為1。
#愛麗絲測量可觀察量O_A的結果為1，量子態塌縮為|1\rangle_A |0\rangle_B，那麼，鮑勃在之後測量可觀察量O_B的結果為0。

由此可見，愛麗絲對子系統A測量可觀察量O_A這定域動作改變了子系統B，儘管子系統A、B之間可能相隔很長一段距離，這就是兩個子系統量子糾纏的現象。更詳盡內容，請參閱EPR佯谬。

由於愛麗絲測量得到的結果具有隨機性，愛麗絲不知道複合系統會怎樣塌縮，她不能夠以超光速傳遞這信息給鮑勃，因此，沒有違反因果性（causality）。更詳盡內容，請參閱不可通訊定理（no-communication theorem）。

混合態
混合態是由幾種純態依照統計機率組成的量子態。假設一個量子系統處於純態| \psi_1 \rangle、| \psi_2 \rangle、| \psi_3 \rangle、……的機率分別為w_1、w_2、w_3、……，則這混合態量子系統的密度算符\rho定義為
:\rho\ \stackrel{def}{=}\ \sum_i w_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i |。

注意到所有機率的總和為1：
: \sum_i w_i =1。

將先前對於純態的可分性所做的定義加以延伸，具有可分性的兩體混合態，其密度算符可以寫為。對於 2 \times 2與 2 \times 3案例，佩雷斯-霍羅德基判據（Peres-Horodecki criterion）是可分性的充要條件。

怎樣做實驗製成混合態？試想非偏振態光子是怎樣製成的。一種方法是利用處於動力學平衡的系統，這系統擁有很多個微觀態（microstate），伴隨每一個微觀態都有其發生的機率（波茲曼因子），它們會因熱力學漲落（thermal fluctuation）從一個微觀態變換到另一個微觀態。熱力學隨機性可以解釋白熾燈怎樣發射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性於系統的製備程序，例如，將光束通過表面粗糙的雙折射晶體，使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應用EPR機制，有些放射性衰變會發射兩個光子朝著反方向移動離開，這糾纏系統的量子態為(|R,L\rang+|L,R\rang)/\sqrt{2}；其中，|R\rang、|L\rang分別為右旋圓偏振態、左旋圓偏振態。整個系統是處於純態，但是每一個光子子系統的物理行為如同非偏振態光子，從分析光子子系統的約化密度算符，可以得到這結論。

約化密度算符
約化密度算符的點子最先由保羅·狄拉克於1930年提出。假設由兩個子系統A、B所組成的複合系統，其量子態為純態|\psi\rang，其密度算符\rho為
:\rho= |\psi\rangle \langle\psi|。

這密度算符也是投影算符，能夠將複合系統的希爾伯特空間H_{AB}裏的任意量子態|\phi\rang投影到量子態|\psi\rang：
:\rho|\phi\rang= |\psi\rangle \langle\psi|\phi\rang。

取密度算符\rho對於子系統B的偏跡數，可以得到子系統A的約化密度算符\rho_A：
:\rho_A \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_j \langle b_j|_B \left( |\psi\rangle \langle\psi| \right) |b_j\rangle_B = \hbox{Tr}_B(\rho)。

例如，先前提到的糾纏態|\psi\rangle_{AB}=( |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B - |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B )/\sqrt{2}，其子系統A的約化密度算符\rho_A為
: \rho_A = \frac{1}{2} \bigg( |0\rangle_A \langle 0|_A + |1\rangle_A \langle 1|_A \bigg)。

如同預想，這公式演示出，子系統A的約化密度算符\rho_A為混合態。

馮紐曼熵
在量子統計力學（quantum statistical mechanics）裏，馮紐曼熵（von Neumann entropy）是經典統計力學關於熵概念的延伸。對於約化密度矩陣為\rho_A的糾纏態，馮紐曼熵的定義為
: S_1\ \stackrel{def}{=}\ -\sum_i \omega_{i} \log \omega_{i}；

其中，\omega_{i}是約化密度矩陣\rho_A的第i個本徵態的本徵值。從這形式可以推論馮紐曼熵與經典信息論裏的夏農熵相關，可作為糾纏熵的推廣，用來分析量子多體系統的波函數。糾纏能量的數學定義是
:\xi_i=-\ln\omega_i-\ln Z
其中 Z 是一個常數，源自所有的本徵值 \omega_i 的總和必須是 1。糾纏譜就是所有糾纏能量的集合 \{\xi_i\}。

根據定義可推得馮紐曼熵是糾纏能量的期望值。
:S_1=\sum_i\omega_i\xi_i+\ln Z

量子糾纏度量
量子糾纏與量子系統失序現象、量子信息喪失程度密切相關。量子糾纏越大，則子系統越失序，量子信息喪失越多；反之，量子糾纏越小，子系統越有序，量子信息喪失越少。因此，馮紐曼熵可以用來定量地描述量子糾纏，另外，還有其它種度量也可以定量地描述量子糾纏。對於兩體複合系統，這些糾纏度量較常遵守的幾個規則為

  • 量子密鑰分發能夠使通信雙方共同擁有一個隨機、安全的密鑰，來加密和解密信息，從而保證通信安全。在量子密鑰分發機制裏，給定兩個處於量子糾纏的粒子，假設通信雙方各自接受到其中一個粒子，由於測量其中任意一個粒子會摧毀這對粒子的量子糾纏，任何竊聽動作都會被通信雙方偵測發覺。
  • 密集編碼（superdense coding）應用量子糾纏機制來傳送信息，每兩個經典位元的信息，只需要用到一個量子位元，這科技可以使傳送效率加倍。
  • 量子隱形傳態應用先前發送點與接收點分享的兩個量子糾纏子系統與一些經典通訊技術來傳送量子態或量子信息（編碼為量子態）從發送點至相隔遙遠距離的接收點。
  • 量子算法（quantum algorithm）的速度時常會勝過對應的經典算法很多。但是，在量子算法裏，量子糾纏所扮演的角色，物理學者尚未達成共識。有些物理學者認為，量子糾纏對於量子算法的快速運算貢獻很大，但是，只倚賴量子糾纏並無法達成快速運算。

糾纏系統的製備
量子糾纏通常是因為亞原子粒子直接耦合而產生的。早期，就是用來製備糾纏態的一種方法。例如，處於激發態的鈣原子，會先後發射出兩個光子，因此衰變至基態。假若第一個光子具有左旋圓偏振，則第二個光子具有左旋圓偏振；假若第一個光子具有右旋圓偏振，則第二個光子具有右旋圓偏振。假若不做測量，則不能知道到底哪個光子具有左旋圓偏振，哪個光子具有右旋圓偏振。因此這兩個光子被糾纏在一起，糾纏態為分別描述這兩種組合的兩個直積態的疊加：(|L\rang_1|L\rang_2+|R\rang_1|R\rang_2)/\sqrt{2}；其中，|L\rang、|R\rang分別是左旋圓偏振態、右旋圓偏振態，下標1、2分別標示第一個、第二個光子。

現今最常用的方法之一是自發參量下轉換。這自發參量下轉換方法的一種實現是照射激光束於偏硼酸鋇晶體（beta-barium borate crystal，一種非線性晶體），大多數光子會穿透過晶體，只有少數光子，會因第二型自發參量下轉換，生成一對一對的孿生光子。這些孿生光子對的直線軌道分別包含於兩個圓錐面，如引言段落的繪圖所示，一個圓錐面包含水平偏振軌道，另一個圓錐面包含垂直偏振軌道，而兩個圓錐面的交集是兩條直線，軌道為這兩條直線的兩個光子可以具有水平偏振或垂直偏振，假若一個具有水平偏振，則另一個具有垂直偏振；假若一個具有垂直偏振，則另一個具有水平偏振。假若不做測量，則不能知道到底哪個光子具有水平偏振，哪個光子具有垂直偏振，因此，這兩個偏振相互垂直的光子糾纏在一起，糾纏態為(|H\rang_1|V\rang_2+|V\rang_1|H\rang_2)/\sqrt{2}；其中，|H\rang是水平偏振，|V\rang是垂直偏振。

在凝聚態量子計算機裏，最具有潛力的候選之一是量子點科技。量子點是一種半導體奈米晶體，能夠束縛激子於微小三維空間內。激子是一對電子與電洞因靜電庫侖作用相互吸引而構成的束縛態。假若電子與電洞復合，造成激子衰變，過剩能量會以光子形式發射釋出。在量子點裏，也可能找到雙激子（biexciton），這是由兩個電子與兩個電洞組成的束縛態。雙激子會先發射一個光子，衰變成一個激子，然後再發射一個光子，衰變至基態。假若第一個光子具有水平偏振，則第二個光子也具有水平偏振，否則，兩個光子都具有垂直偏振。這兩種過程疊加而生成一對偏振糾纏的光子，其糾纏態為(|H\rang_1 |H\rang_2 +|V\rang_1|V\rang_2)/\sqrt{2}。

在光学谐振腔內，里德伯原子會因拉比振動發射或吸收光子的機制，應用這機制來交換光子，兩個或三個里德伯原子可以形成糾纏態。

幾個囚禁在離子阱內的囚禁離子可以被糾纏在一起。給定離子的兩個內態分別為基態|g\rang與激發態|e\rang，每一種內態都有其特定的內能。囚禁在諧振子位勢內的離子會擁有離散的振動能級n與對應的振動能態|n\rang。照射邊帶頻率（sandband frequency）\Omega\pm\omega_n激光於離子，可以將內態與振動能級態糾纏在一起，糾纏態為|g,n\rang+|e,n\pm 1\rang；其中，\Omega是|g\rang與|e\rang之間的拉比頻率，\omega_n是振動能級n與n\pm 1之間的頻率差。

自然糾纏系統
多電子原子的電子殼層總是由糾纏電子組成。 只有考慮電子糾纏才能計算出正確的電離能。

時間奧秘
亞瑟·愛丁頓認為，能量的緩慢散佈是時間流向不可逆反的證據。但是，從基本的物理定律，並無法觀測到時間流向；順著時間流向或逆著時間流向，這些物理定律都能同樣成立，這引起物理學者極大的困惑，他們只能從熱力學的統計分佈給出時間流向的理論論述。物理學者賽斯·勞埃德（Seth Lloyd）在1988年博士論文裏猜想，量子糾纏是時間流向的源頭；時間的流向是關聯遞加的方向，這機制源自於量子糾纏。起初，這點子並未受到學術界重視。後來，越來越多物理學者在這方面有所突破，他們發現了時間流向的更基礎源頭，微觀粒子彼此相互作用產生量子糾纏，因此形成能量散佈與平衡的現象，關於微觀粒子的信息通過量子糾纏機制，從一至十、從十至百，逐步洩露到整個環境，因此顯示出時間流向。

有些物理學者主張，時間是一種從量子糾纏衍生出來的凸顯現象。於1960年代提出的惠勒－德威特方程式嘗試將量子力學與廣義相對論連結在一起，但是，這方程式並沒有將時間納入考量，因此引發了時間問題（problem of time）。直到1983年為止，這是學術界一大難題。在那年，檔恩·佩吉（Don Page）與威廉·烏特斯（William Wooters）找到一個建基於量子糾纏現象的解答，說明怎樣用量子糾纏來測量時間。

2013年，義大利都靈的國立計量研究院（Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica）實驗團隊完成實驗檢試佩吉與烏特斯的點子，證實這點子值得進一步研究。2013年，史丹福大學教授李奧納特·色斯金與普林斯頓高等研究院教授胡安·馬爾達西那共同提出了ER=EPR猜想，认为兩個量子糾纏的粒子彼此之間的連結是一個蟲洞。將這論述加以延伸，物理學者質疑，蟲洞的連結與量子糾纏的連結是同一種現象，只有系統的尺寸如同天壤之別。類似地從弦理論來檢視，糾纏兩個夸克也會有同樣的作用。

這些理論結果為一些新理論提供支持。這些新理論表明，引力與它的物理性質不是基礎的，而是來自於量子糾纏。雖然量子力學正確地描述在微觀層次的相互作用，它尚未能夠解釋引力。量子引力理論應該能夠演示出古典引力不是基礎的，就如同阿爾伯特·愛因斯坦所提議，而是從更基礎的量子現象產生，因此，在糾纏粒子被生成的同時，蟲洞也被生成。更基礎地，這論述建議，引力與它彎曲時空的能力來自於量子糾纏。

案例
以兩顆向相反方向移動但速率相同的電子為例，即使一顆行至太陽邊，一顆行至冥王星邊，在如此遙遠的距離下，它們仍保有關聯性（correlation）；亦即當其中一顆被操作（例如量子測量）而狀態發生變化，另一顆也會即時發生相應的狀態變化。如此現象導致了鬼魅似的超距作用之猜疑，彷彿兩顆電子擁有超光速的秘密通信一般，似與狹義相對論中所謂的定域性原理相違背。這也是當初阿爾伯特·愛因斯坦與同僚玻理斯·波多斯基、納森·羅森於1935年提出的EPR佯谬來質疑量子力學完備性的理由。

具有量子纏結的兩顆電子——電子1和電子2，其自旋性質之纏結態可以下面式子為例：
: \Psi= (|00 \rangle _{12} + |11 \rangle _{12}) /\sqrt 2 = (|0 \rangle _1 \otimes |0 \rangle _2 + |1 \rangle _1 \otimes |1 \rangle _2)/\sqrt 2
無法寫成 |\psi \rangle _1 \otimes |\phi \rangle _2 ，即兩個量子態的張量積。
下標1和2表示這是電子1和電子2的量子態，採取|0 \rangle 表示自旋的z方向分量向上，|1 \rangle 表示自旋的z方向分量向下。

太陽邊的科學家決定對電子1做投影式量子測量，其測到的隨機性結果不是|0 \rangle 就是|1 \rangle 。當其測量結果顯示為狀態|0 \rangle ，則冥王星的科學家在此之後，或很近、或較遠的時間點對電子2做測量，必定會測到|0 \rangle 的狀態。因為投影式量子測量已經將原先量子態(|00 \rangle _{12} + |11 \rangle _{12})/\sqrt 2選擇性地塌縮到|00 \rangle _{12} ，也可寫成|0 \rangle _1 |0 \rangle _2 或|0 \rangle _1 \otimes |0 \rangle _2 。這樣，可以從電子1狀態是|0 \rangle知道選擇到|00 \rangle這一邊。

注意到：|0 \rangle _1 \otimes |0 \rangle _2 已經是兩個成員系統各自量子態的張量積，所以測量後狀態已非纏結態。

註釋
参考文献
参见

  • 量子隱形傳態
  • 爱因斯坦-波多尔斯基-罗森佯谬
  • 相關不蘊涵因果
  • 观测者效应
  • 光子糾纏
  • 量子相變

外部連結

#量子力学 #量子信息

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