开普勒三角形是特殊的直角三角形，它的三边之比等于1:\sqrt\phi:\phi，其中\phi是黄金比，\phi=\frac{\sqrt5+1}{2}.德国数学家及天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。这种三角形将黄金比的性质与勾股定理巧妙地结合在了一起.
与代数的关系
给定两个正实数a、b，若他们的算术平均数、几何平均数、调和平均数能够构成一个直角三角形，那么这个直角三角形一定是开普勒三角形。
作开普勒三角形
开普勒三角形可通过尺规作图法作出。方法是先作出黄金矩形。
#用尺规作图法作一个正方形
#作出其中一边的中点
#连接这一中点与与之相对的正方形的顶点
#以这一中点为圆心，已作出的线段的长为半径作弧。并作出长方形的长边。
#补全作出的黄金矩形
#以黄金矩形的一个顶点为圆心，一条长边的长为半径作弧交另一长边于一点，连接该点与顶点，即作出了开普勒三角形。
數學巧合
若繪製一個三邊為a, a \sqrt{\varphi}, a \varphi,的开普勒三角形，並且考慮
- 其外接圓
- 邊長等於a \sqrt{\varphi}（三角形中數值介於中間的邊長）的正方形
則正方形的周長（4a \sqrt{\varphi}）和圓的周長（a \pi \varphi）相當接近，誤差小於0.1%。
這是因為\pi \approx 4/\sqrt\varphi的數學巧合，上述的圓和正方形其周長不可能相同，若是相同，就可以求解化圓為方的不可能問題了。換句話說\pi \neq 4/\sqrt\varphi，因為\pi是超越數。
一些資料指出，埃及金字塔設計時有用到开普勒三角。不過古埃及人可能不知道有關\pi和黃金比例\varphi之間的數學巧合。
參考資料
参见
*黄金菱形
*黄金三角形
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