茶年 · 中文维基百科

折纸公理

Wikipedia · 2026-07-27 维基百科 👁 1 阅读

折纸公理，又称藤田－羽鳥公理或藤田－贾斯汀公理，是折纸数学的基本公理。假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作。

折纸定理最早於1989年由雅克·贾斯汀（Jacques Justin）发现。截至目前為止，共推衍了7個公理，其中，公理1－6又于1991年由日裔意大利数学家藤田文章发现。定理7也于2001年由羽鳥公士郎发现。贾斯汀和罗伯特·朗（Robert J. Lang）也同样发现了公理7。

七个公理
前6个公理又叫做藤田公理，公理7由羽鳥公士郎发现，贾斯汀和罗伯特·朗（Robert J. Lang）也同样发现了公理7。7条公理如下：

给定两点 p_1 和 p_2，有且仅有一条折痕同时过这两点。

给定两点 p_1 和 p_2，有且仅有一种方法把 p_1 折到 p_2 上。

给定两直线 l_1 和 l_2，可以把 l_1 折到 l_2 上。

给定一点 p_1 和一条直线 l_1，有且仅有一种方法过 p_1 折出 l_1 的垂线。

给定两点 p_1 和 p_2 和一条直线 l_1，可以沿过 p_2 的直线将 p_1 折到 l_1 上。

给定两点 p_1 和 p_2 和两直线 l_1 和 l_2，可以一次将 p_1 、p_2 分别折到 l_1 、l_2 上。

给定一点 p 和两直线 l_1 和 l_2，可以沿着 l_2 的垂线将 p 折到 l_1 上。

公理5可能有最多2个解，公理6可能有最多3个解，而尺规作图的公理最多只有两个解。所以，折纸的作图能力要强于尺规作图。就是说，尺规作图相当于在解二次方程，而折纸几何相当于解三次方程。因而诸如三等分角、倍立方等尺规作图无法解决的问题却可以用折纸几何解决。但是公理6在实践中需要将纸“滑动”，这其实相当于二刻尺作图，这在标准的尺规作图中是不被允许的。

罗伯特·朗证明了这七个公理已经是折纸几何的全部公理了。

公理 1
给定两点 p_1 和 p_2，有且仅有一条折痕同时过这两点。

以参数方程表示的话，过2点的直线可以表示为：

:F(s)=p_1 +s(p_2 - p_1).

公理 2
给定两点 p_1 和 p_2，有且仅有一种方法把 p_1 折到 p_2 上。

这条公理相当于是作线段 \overline{p_1 p_2}的垂直平分线。这可以通过以下四个步骤完成：

  • 使用公理1作出连结 p_1 和 p_2 的直线 P(s)=p_1+s(p_2-p_1)
  • 找到直线 P(s) 的中点 p_{mid}
  • 找到垂直于 P(s) 的向量 \mathbf{v_{perp}}
  • 折痕的参数方程表示为：

:F(s)=p_\mathrm{mid} + s\cdot\mathbf{v}_{\mathrm{perp}}.

公理 3
给定两直线 l_1 和 l_2，可以把 l_1 折到 l_2 上。

这条公理相当于是找出 l_1 和 l_2 组成的角的平分线。假设 p_1 和 p_2 是 l_1 上任意两点，q_1 和 q_2 是 l_2 上任意两点，\mathbf{u} 和 \mathbf{v} 分别是 l_1 和 l_2 方向的单位向量：

:\mathbf{u} = (p_2-p_1) / \left|(p_2-p_1)\right|
:\mathbf{v} = (q_2-q_1) / \left|(q_2-q_1)\right|.

如果两直线不平行，它们的交点为：

:p_\mathrm{int} = p_1+s_\mathrm{int}\cdot\mathbf{u}

其中

:s_{int} = -\frac{\mathbf{v}_{\perp} \cdot (p_1 - q_1)} {\mathbf{v}_{\perp} \cdot \mathbf{u}}.

两条直线所夹的一个角的平分线方向是：

:\mathbf{w} = \frac{
\left|\mathbf{u}\right| \mathbf{v} +
\left|\mathbf{v}\right| \mathbf{u}}
{\left|\mathbf{u}\right| +
\left|\mathbf{v}\right|}.

折痕的参数方程是：

:F(s) = p_\mathrm{int} + s\cdot\mathbf{w}.

这两直线还有另一个角平分线，两条角平分线互相垂直，且都过点 p_{int}。而沿着任意一条角平分线折都能将 l_1 折到 l_2 上。但在实践中可能因为交点的位置（比如交点在纸外）使沿着其中一条角平分线的折叠无法实施。

如果两条直线平行，那么只要沿着两直线中间的一条线（与两直线平行，到两直线距离相等）折叠就可以将 l_1 折到 l_2 上

公理 4
给定一点 p_1 和一条直线 l_1，有且仅有一种方法过 p_1 折出 l_1 的垂线。

向量 \mathbf{v} 是垂直于 l_1 的单位向量，那么折痕的参数方程是：

:F(s) = p_1 + s\cdot\mathbf{v}.

公理 5
给定两点 p_1 和 p_2 和一条直线 l_1，可以沿过 p_2 的直线将 p_1 折到 l_1 上。

这个公理相当于找出圆和直线的交点，所以有最多2个解，最少也可能无解。这取决于直线 l_1 和以p_2 为圆心，p_2 到 p_1 的距离为半径的圆的位置关系。如果直线和圆不相交则无解，相切则有1解，相交则有2解.

如果我们知道直线上两点 (x_1,y_1) 和 (x_2,y_2)，那么直线可以表示为：

:x = x_1 + s(x_2 - x_1)\,
:y = y_1 + s(y_2 - y_1).\,

如果圆心 p_2=(x_c,y_c)，半径 r = \left|p_1 - p_2\right|。那么这个圆可以表示为：

:(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = r^2.\,

为了确定圆和直线的交点，将直线方程代入圆方程，得：

:(x_1 + s(x_2-x_1) - x_c)^2 + (y_1 + s(y_2 - y_1) - y_c)^2 = r^2.\,

或者可以简化为：

:as^2 + bs + c = 0\,

其中：

:a = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\,
:b = 2(x_2 - x_1)(x_1 - x_c) + 2(y_2 - y_1)(y_1 - y_c)\,
:c = x_c^2 + y_c^2 + x_1^2 + y_1^2 - 2(x_c x_1 + y_c y_1)-r^2.\,

然后，只要解以下方程就能确定直线和圆的交点：

:\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

如果判别式 b^2-4ac，那么方程无实数解，圆和直线没有交点；如果辨别式等于0，那么方程有一解，圆和直线相切；如果辨别式大于0，方程有两解，圆和直线有两个交点。令d_1 和 d_2 是两个交点（如果存在），那么，我们可以得到线段如下：

:m_1 = \overline{p_1 d_1} \,
:m_2 = \overline{p_1 d_2}. \,

折痕 F_1(s) 垂直平分 m_1，可以将 p_1 折到 d_1。同样，折痕 F_2(s) 垂直平分 m_2，可以将 p_1 折到 d_2。只要应用公理2就可以找到垂直平分线。折痕的参数方程是：

:
\begin{align}
F_1(s) & = p_1 +\frac{1}{2}(d_1-p_1)+s(d_1-p_1)_\perp \\[8pt]
F_2(s) & = p_1 +\frac{1}{2}(d_2-p_1)+s(d_2-p_1)_\perp.
\end{align}

公理 6
给定两点 p_1 和 p_2 和两直线 l_1 和 l_2，可以一次将 p_1 、p_2 分别折到 l_1 、l_2 上。

这个公理相当于找到同时与两条抛物线相切的直线，等价于解一个三次方程。两条抛物线的焦点分别是 p_1 和 p_2，准线分别是 l_1 和 l_2。

公理 7
给定一点 p 和两直线 l_1 和 l_2，可以沿着 l_2 的垂线将 p 折到 l_1 上。

过 p 点作 l_2 的平行线，交 l_1 于 q，这个公理就是要找出线段 \overline{p q} 的垂直平分线。沿着这条垂直平分线折，就可以将 p 折到 q 上。

参考资料
外部链接

*

#几何学 #公理 #摺紙 #趣味数学

评论 (0)

  • 还没有评论，来抢沙发吧。