2的自然对数

{{Infobox number
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數表—

| name=2的自然对数
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| number=\ln{2}
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| root of=e^x-2 = 0
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| 連分數=[0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 10]
0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \ddots}}}}}
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ln2约为：
:\ln 2 \approx 0.693147
使用对数公式
:\log_b 2 = \frac{\ln 2}{\ln b}.
可以求出log2，它约为：
:\log_{10} 2 \approx 0.301029995663981195。

數學家在1972年證明，不尋常數的自然密度等於 \ln 2。換言之，若 u(n) 表示不大於 n 的自然數之中，有多少個數 a 具有大於 \sqrt a 的質因數，則有：

:\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u(n)}{n} = \ln(2) = 0.693147 \dots\, .

公式
:\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \ln 2.

:\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)} = 2\ln 2 -1.

:\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(4n^2-1)} = 2\ln 2 -1.

:\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(4n^2-1)} = \ln 2 -1.

:\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(9n^2-1)} = 2\ln 2 -\frac{3}{2}.

:\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^n}[\zeta(n)-1] = \ln 2 -\frac{1}{2}.

:\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}[\zeta(n)-1] = 1-\gamma-\frac{1}{2}\ln 2.

:\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{2n}(2n+1)}\zeta(2n) = \frac{1}{2}(1-\ln 2).
\gamma是欧拉-马歇罗尼常数，\zeta是黎曼ζ函數。

:\ln 2 = \sum_{k\ge 1} \frac{1}{k2^k}.

:\ln 2 = \sum_{k\ge 1}\left(\frac{1}{3^k}+\frac{1}{4^k}\right)\frac{1}{k}.

:\ln 2 = \frac{2}{3}+\sum_{k\ge 1}\left(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12}\right)\frac{1}{16^k}.（贝利－波尔温－普劳夫公式）

:\ln 2 = \frac{2}{3} \sum_{k\ge 0} \frac{1}{(2k+1)9^k}.（基於反雙曲函數，可參見計算自然對數的級數。）

积分公式
:\int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \ln 2

:\int_1^\infty \frac{dx}{(1+x^2)(1+x)^2} = \frac{1}{4}(1-\ln 2)

:\int_0^\infty \frac{dx}{1+e^{nx}} = \frac{1}{n}\ln 2;
\int_0^\infty \frac{dx}{3+e^{nx}} = \frac{2}{3n}\ln 2

:\int_0^\infty \left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{2}{e^{2x}-1}\right)=\ln 2

:\int_0^\infty e^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x} dx= \ln 2

:\int_0^1 \ln\frac{x^2-1}{x\ln x}dx=-1+\ln 2+\gamma

:\int_0^{\frac{\pi}{3}} \tan x dx=2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x dx=\ln 2

:\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x+\cos x)dx=-\frac{\pi}{4}\ln 2

:\int_0^1 x^2\ln(1+x)dx=\frac{2}{3}\ln 2-\frac{5}{18}

:\int_0^1 x\ln(1+x)\ln(1-x)dx=\frac{1}{4}-\ln 2

:\int_0^1 x^3\ln(1+x)\ln(1-x)dx=\frac{13}{96}-\frac{2}{3}\ln 2

:\int_0^1 \frac{\ln x}{(1+x)^2}dx = -\ln 2

:\int_0^1 \frac{\ln(1+x)-x}{x^2}dx=1-2\ln2

:\int_0^1 \frac{dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)} = \ln 2

:\int_1^\infty \frac{\ln\ln x}{x^3}dx = -\frac{1}{2}(\gamma+\ln 2)

\gamma是欧拉-马歇罗尼常数。

其他公式
用皮尔斯展开式（）表达ln2：
: \log 2 = \frac{1}{1} -\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12} -\ldots.
用恩格尔展开式表达ln2：
:\log 2 = \frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot 7}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\ldots .
用余切展开式表达ln2：
:\log 2 = \cot(\arccot 0 -\arccot 1 +\arccot 5 -\arccot 55+\arccot 14187-\ldots).

其他對數
範例
10的自然對數
參考文獻
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外部連結
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參見
*對數
*自然對數
*常用對數
*超越数