在数学中，右连左极函数（càdlàg，RCLL）是指定义在实数集或其子集上的处处右连续且有左极限的函数。这类函数在研究有跳跃甚至是需要跳跃的随机过程时很重要，这类随机过程不像布朗运动具有连续的样本轨道。给定定义域上的右连左极函数的集合称为斯科罗霍德空间（Skorokhod space）。
定义
是右连左极函数的一个例子。]]
令(M, d)为度量空间，并令E \subseteq \mathbb{R}。函数f : E \to M称为右连左极函数。若对于每一t \in E，都有
- 左极限f(t-) := \lim_{s \uparrow t} f(s)存在；且
- 右极限f(t+) := \lim_{s \downarrow t} f(s)存在并等於f(t)，
即f 是右连续的且有左极限。
例子
- 全部连续函数都是右连左极函数。
- 由累积分布函数的定义知所有的累积分布函数都是右连左极函数。
斯科罗霍德空间
从E到M的所有右连左极函数的集合常记为D(E; M)或简记为D，称为斯科罗霍德空间，是以乌克兰数学家阿纳托利·斯科罗霍德（Anatoliy Skorokhod）的名字命名。斯科罗霍德空间可以被指派一个拓撲結構，这一拓扑直觉上能使我们“稍微蠕动空间和时间”（而传统的一致收斂拓扑仅允许我们“稍微蠕动空间”）。为了简化说明，取E = [0, T]，M = \mathbb{R}^{n}（Billingsley的书中描述了更一般的拓扑）
首先我们必须定义连续性模的一个模拟\varpi'_{f} (\delta)。对於任意F \subseteq E，使
:w_{f} (F) := \sup_{s, t \in F} | f(s) - f(t) |
且对於\delta > 0，将右连左极函数模（càdlàg modulus）定义为
:\varpi'_{f} (\delta) := \inf_{\Pi} \max_{1 \leq i \leq k} w_{f} ([t_{i - 1}, t_{i})),
其中最大下界对所有划分\Pi = \{ 0 = t_{0} ，k \in \mathbb{N}都存在，且\max_{i} (t_{i} - t_{i - 1}) 。这一定义对於非右连左极函数f是有意义的（就如通常的连续性模对於不连续函数是有意义的）且可以说明f是右连左极函数当且仅当\delta \to 0时\varpi'_{f} (\delta) \to 0。
这是令\Lambda表示从E到自身的所有严格递减的连续双射函数的集合（这些函数是“对时间的蠕动”）。令
:\| f \| := \sup_{t \in E} | f(t) |
表示E上的函数的一致范数。将D 上的斯科罗霍德度量（Skorokhod metric）\sigma定义为
:\sigma (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} \max \{ \| \lambda - I \|, \| f - g \circ \lambda \| \},
其中I : E \to E是恆等函數。以“蠕动”这种直观感觉来看，\| \lambda - I \|度量了“时间的蠕动”，而\| f - g \circ \lambda \|度量了“空间的蠕动”。
我们可以证明斯科罗霍德度量度量的确是度量。由\sigma生成的拓扑\Sigma称为D上的斯科罗霍德拓扑（Skorokhod topology）。
斯科罗霍德空间的性质
一致拓扑的一般化
E 上的连续函数空间C 是D 的一个子空间。相对应於C 斯科罗霍德拓扑与这里所述的一致拓扑相一致。
完备性
虽然D 不是关於斯科罗霍德度量σ 的一个完备空间，但是可以证明存在具完备性的关於D 的拓扑等价度量 σ0 。
分离性
关於σ 或σ0 的D 是可分空间，因此斯科罗霍德空间是波蘭空間。
斯科罗霍德空间中的胎紧性
通过应用阿尔泽拉－阿斯科利定理，我们可以证明斯科罗霍德空间D 上概率测度的一个序列(\mu_{n})_{n = 1}^{\infty}是胎紧的当且仅当同时满足下列两个条件：
:\lim_{a \to \infty} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n} \{ f \in D | \| f \| \geq a \} = 0,
和
:\lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n} \{ f \in D | \varpi'_{f} (\delta) \geq \varepsilon \} = 0\text{ for all }\varepsilon > 0.
代数结构与拓扑结构
在斯科罗霍德拓扑和函数的逐点加法下，D 不是一个拓扑群。
参考文献
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