阿达马变换

阿达马变换（），或称沃爾什-阿達瑪轉換，是一种廣義傅立葉變換（Fourier transforms），作为变换编码的一种在影片编码当中使用有很久的历史。在近来的影片编码标准中，阿达马变换多被用来计算SATD(一种影片残差信号大小的衡量)。

在數字信號處理大型積體電路演算法的領域中，阿达马变换是一種簡單且重要的演算法之一，主要能針對頻譜做快速的分析。

变换矩阵
在H.264中使用了4阶和8阶的阿达马变换来计算SATD，其变换矩阵为：

: H_4 = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{bmatrix}

: H_8 = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1
\end{bmatrix}

SATD计算方法
当计算4x4块\begin{bmatrix}L_4\end{bmatrix}的SATD时，先使用下面的方法进行二维的阿达马变换：

:
\begin{bmatrix}
L_4'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
H_4
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
L_4
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
H_4
\end{bmatrix}

然后计算\begin{bmatrix}L_4'\end{bmatrix}所有系数绝对值之和并归一化。

类似的，当计算8x8块\begin{bmatrix}L_8\end{bmatrix}的SATD时，先使用下面的方法进行二维的Hadamard变换：

:
\begin{bmatrix}
L_8'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
H_8
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
L_8
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
H_8
\end{bmatrix}

然后计算\begin{bmatrix}L_8'\end{bmatrix}所有系数绝对值之和并归一化。

建構阿达马变换
阿达马变换轉換主要型式為 \boldsymbol{2^k} 點的轉換矩陣，其最小單位矩陣為 2x2 的阿达马变换矩陣，以下分別為二點、四點與如何產生 \boldsymbol{2^k} 點的阿达马变换轉換步驟。

*二點阿达马变换轉換：

\boldsymbol{W_2} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

*四點阿达马变换轉換：

\boldsymbol{W_4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}

*產生 \boldsymbol{2^k} 點阿达马变换的步驟：

步驟一： \boldsymbol{V_{2^{k+1}}} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{W_{2^k}} & \boldsymbol{W_{2^k}} \\ \boldsymbol{W_{2^k}} & \boldsymbol{-W_{2^k}} \end{bmatrix}

步驟二：根據正負號次序 (Sign change,正負號改變次數) 將矩陣 (Matrix) 內的列向量做順序上的重新排列。

\boldsymbol{V_{2^{k+1}}} \longrightarrow \boldsymbol{W_{2^{k+1}}}

範例
\boldsymbol{V_4} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{W_2} & \boldsymbol{W_2} \\ \boldsymbol{W_2} & \boldsymbol{-W_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} ,\quad \boldsymbol{W_4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}.

\boldsymbol{V_8} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{W_8} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}.

特性
*正交性

\sum_{n=0}^{N-1} W\left[ {h, n} \right]W\left[ {m, n} \right] = 0, \quad \mathrm{if} \, h \ne m.

其表示 Walsh-Hadamard 轉換矩陣中，不同的列向量 (Row verctor) 做內積 (Inner product) 為零。

*奇偶函數性質

可簡單從 Walsh-Hadamard 轉換矩陣中發現，其奇數列向量呈現左右兩邊偶對稱(Even symmetric)。反之，其偶數列向量呈現左右兩邊奇對稱(Odd symmetric)。

*線性關係

若 f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right] \, and \, \, g\left[{n}\right] \Rightarrow G\left[{m}\right],

則 a\,f\left[{n}\right] + b\,g\left[{n}\right] \Rightarrow a\,F\left[{m}\right] + b\,G\left[{m}\right].

*邏輯相加性質

W\left[{m, n}\right] \cdot W\left[{l, n}\right] = W\left[{m \oplus l, n}\right].

範例：

0 \oplus 0 = 0, \quad 0 \oplus 1 = 1, \quad 1 \oplus 0 = 1, \quad 1 \oplus 1 = 0,

其運算方式為布林代數內的 XOR 邏輯閘。

*特殊函數

\delta\left[{n}\right] \Rightarrow 1, \quad 1 \Rightarrow N \cdot \delta\left[{n}\right].

其中， \delta\left[{n}\right] = \begin{cases} \, 1, \quad \mathrm{when} \; n = 0 \\ \, 0, \quad \mathrm{when} \; n \ne 0 \end{cases}.

*平移性質

若 f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right],

則 f\left[{n \oplus k}\right] \Rightarrow W\left[{k, m}\right] F\left[{m}\right].

*調變性質

若 f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right],

則 W\left[{k, n}\right] f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m \oplus k}\right].

*帕塞瓦尔定理 (Parseval's Theorem)

若 f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right], \quad \sum_{n=0}^{N-1} \left| f\left[ n \right] \right|^2 = \left( \frac{1}{N} \right) \sum_{n=0}^{N-1} \left| F\left[ m \right] \right|^2.

若 f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right] \, and \, \, g\left[{n}\right] \Rightarrow G\left[{m}\right],

則 \sum_{n=0}^{N-1} f\left[ n \right]g\left[ n \right] = \left( \frac{1}{N} \right) \sum_{n=0}^{N-1} F\left[ m \right]G\left[ m \right].

*摺積性質 (Convolution Property)

若 f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right] \, and \, \, g\left[{n}\right] \Rightarrow G\left[{m}\right],

則 h\left[{n}\right] = f\left[{n}\right] \star g\left[{n}\right] \Rightarrow H\left[{m}\right] = F\left[{m}\right] G\left[{m}\right],

其中 \star 代表邏輯摺積 (Logical convolution)。

優缺點比較
優點
*僅需實數運算 (Real operation) 。
*不需乘法運算 (No multiplication) ，僅有加減法運算。
*有部分性質類似於離散傅立葉變換 (Discrete fourier transform) 。
*順向轉換 (Forward transform) 與反向轉換 (Inverse transform ) 型式為相似式。

\begin{cases} \begin{matrix} F\left[ m \right] &=& \sum_{n=0}^{N-1} W\left[ {m, n} \right] f\left[ n \right] & & (\mbox{Forward Type}) \\ f\left[ n \right] &=& \left( \frac{1}{N} \right) \sum_{n=0}^{N-1} W\left[ {m, n} \right]F\left[ m \right] & &(\mbox{Inverse Type}) \end{matrix} \end{cases},

其中 F\left[ n \right] 與 f\left[ n \right] 分別都為行向量 (Column vector) 。

缺點
*其收斂速度較離散餘弦變換慢，因此對於頻譜分析的效果較差。
*其加減法量較離散傅立葉變換、離散餘弦變換多。

應用範圍
阿达马变换轉換主要為一種非常適合應用於頻域分析 (Spectrum analysis) ，去執行快速之分析。可惜的是對於摺積性質是一種邏輯摺積，與離散傅立葉變換上之摺積性質截然不同。因此，較摺積上無法取代離散傅立葉變換。

主要應用範圍：
*帶寬降低 (Bandwidth reduction) 。
*CDMA (Code division multiple access)。
其主要是一種調變 (modulation) 與解調 (Demodultion) 之技術。
*資訊編碼 (Information coding)。
*特徵識別 (Feature extraction)。
*心電圖分析 (ECG signal analysis in medical signal processing)。
*Hadamard 頻譜量測 (Hadamard spectrometer)。
*避免量化誤差 (Avoiding quantization error)。由於阿达马变换轉換輸入輸出皆為整數，因此不會有量化誤差的問題。

Jacket 轉換
廣義來說，其實阿达马变换轉換是 Jacket 轉換中的一項特例情況，其將 w = \pm 2^0 = 1 即可求得。

以下為四點的 Jacket 轉換：

\boldsymbol{J_4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -w & w & -1 \\ 1 & w & -w & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad where \ w = \pm 2^k.

\boldsymbol{2^{k+1}} 點的 Jacket 轉換：

\boldsymbol{J_{2^{k+1}}} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{J_{2^{k}}} & \boldsymbol{J_{2^{k}}} \\ \boldsymbol{J_{2^{k}}} & -\boldsymbol{J_{2^{k}}} \end{bmatrix}.

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