、长方形、等腰梯形、一般]]
在几何中，圆内接四边形（英文：Cyclic quadrilateral）是四边形的一种。顾名思义，圆内接四边形的四个顶点都在同一个圆上。
性质
在一个圆内接四边形中，相对的两内角是互补的，它们度数之和为180度。与此等价的说法是，圆内接四边形的一个内角等于其相对面的角的外角。一個四邊形為圓內接四邊形的充分必要條件是其相对的两内角互补，即，圆内接四边形相对的两内角互补，且相对的两内角互补的四邊形是圓內接四邊形（四邊形四頂點共圓或說有四邊形有外接圓）。
托勒密定理指出，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积（如右图）。对于非退化的四边形，如果两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积，那么必定是圆内接四边形。
凸四边形的两条对角线将自身分成四个三角形。如果这个四边形是圆内接四边形，那么相对的两个三角形是相似的。如右图中，P是圆内接四边形ABCD的两对角线交点，则\bigtriangleup ABP\sim\bigtriangleup DCP，\bigtriangleup BCP\sim\bigtriangleup ADP。一个与此等价的说法是所谓的相交弦定理：设凸的圆内接四边形的两条对角线相交于一点(图中的P），那么其中一条对角线被点P所分成的两段的长度之乘积等于另一条对角线被点P所分成的两段的长度之乘积：AP \times CP = BP \times DP。相应的逆命题也成立：如果一个四边形ABCD的两条对角线交于点P，且\bigtriangleup ABP\sim\bigtriangleup DCP（或\bigtriangleup BCP\sim\bigtriangleup ADP，或AP \times CP = BP \times DP），那么四边形ABCD是圆内接四边形。
与其它四边形的关系
在四边形中，矩形、正方形都是，鳶形和梯形可能是。的对偶多边形是圆外切四边形。
*如果一个四边形既是菱形又是，那么它是一个正方形。
*如果一个四边形既是平行四边形又是，那么它是一个矩形。
*如果一个四边形既是梯形又是，那么它是一个等腰梯形。
*如果一个四边形既是箏形又是，那么它是一个直角箏形。
*如果一个四边形既是正交四边形又是，那么它是一个婆罗摩笈多四边形。
*如果一个四边形既是等对角线四边形又是，那么它是一个等腰梯形或矩形。
*如果一个四边形既是圆外切四边形又是，那么它是一个双心四边形。
面积
在已知四边的边长时，圆内接四边形的面积可通过婆羅摩笈多公式给出。若圆内接四边形的四边边长分别是a, b, c, d，则其面积为：
: \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}
其中p為半周长：
: p=\frac{a+b+c+d}{2}.
可以证明，在所有周长为定值2p的圆内接四边形中，面积最大的是正方形。
参见
- 圆内接多边形
- 婆羅摩笈多公式
- 婆羅摩笈多定理：关于对角线相互垂直的圆内接四边形的一个定理。
- 外接圆
参考来源
外部链接
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