朱加數

在數論上，朱加數是一個有著如次性質的合成數：若對於的任何質因數p_i而言都有p_i | \left({n \over p_i} - 1\right)，或等價地，若對於的任何質因數p_i而言都有p_i^2 | (n - p_i)，那是一個朱加數。

一個朱加數的例子是，這是因為對30的所有因數而言，皆有如次的性質：
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朱加數以朱塞佩·朱加（Giuseppe Giuga）為名，且和他提出的判別質數的猜想有關。

其他定義
朱加數的另一個定義是吾鄉孝視提出的，他的定義如次：若一個合成數是朱加數，當且僅當以下同餘關係式成立：
:nB_{\varphi(n)} \equiv -1 \pmod n

其中B_k是第個伯努利數，而\varphi(n)則是歐拉函數。

另一個等價定義是朱塞佩·朱加提出的：若一個合成數是朱加數，當且僅當以下同餘關係式成立：
:\sum_{i=1}^{n-1} i^{\varphi(n)} \equiv -1 \pmod n
且當且僅當以下關係成立：
:\sum_{p|n} \frac{1}{p} - \prod_{p|n} \frac{1}{p} \in \mathbb{N}.

實際上，所有已知的朱加數都滿足以下更強的條件：
:\sum_{p|n} \frac{1}{p} - \prod_{p|n} \frac{1}{p} = 1.

已知的朱加數列表
目前已知有13個朱加數，最初的12個朱加數的順序是已經確定的，且是所有已知有8個或更少個質因數的朱加數；然而目前不知道第12個朱加數以及第13個已知的朱加數之間是否有別的朱加數。

性質
一個朱加數的所有質因數都彼此不相等，這是因為若p^2可除盡n，那麼有{n \over p} - 1 = m-1，其中m=n/p可被p除盡。因此在這種狀況下，m-1無法被p除盡，也因此這種狀況下，n不會是一個朱加數。換句話說，朱加數必然是無平方因子數。

一個不是朱加數的例子是60，其質因數分別是2、2、3跟5，且60/2 - 1 = 29無法被2除盡。因此60不是朱加數。

上述的規則顯示質數的平方不會是朱加數；但半質數也不會是朱加數。這是因為若n=p_1p_2是一個半質數，且對其質因數而言有p_1，那麼有
{n \over p_2} - 1 =p_1 - 1 ，而這顯示說p_2不能除盡{n \over p_2} - 1 ，因此n不是朱加數。

所有已知的朱加數都是偶數。若有朱加數是奇數，那奇朱加數必須有至少14個質因數；此外目前不知道是否有無限多個朱加數。

在2009年的一篇文章中，Paolo P. Lava猜想說朱加數是微分方程n'=n+1的解，其中n'是的。實際上對於無平方因子數 n = \prod_i {p_i} 而言， n' = \sum_i \frac{n}{p_i} ，因此n'=n+1其實就是「其他定義」一節最末尾中的等式乘以的形式。

José Mª Grau和Antonio Oller-Marcén證明說若一個整數是朱加數，當且僅當滿足n'=an+1這等式，其中0 是一個正整數。再次地，n'=an+1其實就是「其他定義」一節中的第三條等式乘以的形式。

參見
*卡邁克爾數
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參考資料
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