{{Infobox 機率分佈
| name = 多元正态分布
| type = multivariate
| pdf_image =
Many samples from a multivariate (bivariate) Gaussian distribution centered at (1,3) with a standard deviation of 3 in roughly the (0.878, 0.478) direction (longer vector) and of 1 in the second direction (shorter vector, orthogonal to the longer vector).
| cdf_image =
| notation = \mathcal{N}(\boldsymbol\mu,\,\boldsymbol\Sigma)
| parameters = μ ∈ RN — 位置
Σ ∈ RN×N — 协方差矩阵 (半正定)
| support = x ∈ μ+span(Σ) ⊆ RN
| pdf = (2\pi)^{-\frac{N}{2}}|\boldsymbol\Sigma|^{-\frac{1}{2}}\, e^{ -\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol\mu)'\boldsymbol\Sigma^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol\mu) },
（仅当 Σ 为正定矩阵时）
| cdf = 解析表达式不存在
| mean = μ
| median =
| mode = μ
| variance = Σ
| skewness =
| kurtosis =
| entropy = \frac{1}{2}\ln((2\pi e)^N |\boldsymbol\Sigma|)
| mgf = \exp\!\Big( \boldsymbol\mu'\mathbf{t} + \tfrac{1}{2} \mathbf{t}'\boldsymbol\Sigma \mathbf{t}\Big)
| char = \exp\!\Big( i\boldsymbol\mu'\mathbf{t} - \tfrac{1}{2} \mathbf{t}'\boldsymbol\Sigma \mathbf{t}\Big)
}}

多变量正态分布亦称为多变量高斯分布。它是单维正态分布向多维的推广。它同矩阵正态分布有紧密的联系。

一般形式
N维随机向量\ X = [X_1, \dots, X_N]^T如果服从多变量正态分布，必须满足下面的三个等價条件：

任何线性组合\ Y = a_1 X_1 + \cdots + a_N X_N服从正态分布。

存在随机向量\ Z = [Z_1, \dots, Z_M]^T( 它的每个元素服从独立标准正态分布），向量\ \mu = [\mu_1, \dots, \mu_N]^T及N \times M 矩阵\ A满足\ X = A Z + \mu.

存在\mu和一个对称半正定阵\ \Sigma满足\ X 的特征函数

#:
\phi_X\left(u;\mu,\Sigma\right)
=
\mathrm{e}^{
i \mu^T u - \frac{1}{2} u^T \Sigma u
}

如果\ \Sigma是非奇异的，那么该分布可以由以下的概率密度函数来描述：

:
f_{\mathbf x}(x_1,\ldots,x_k) =
\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{k}|\boldsymbol\Sigma|}}
\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})^\mathrm{T}{\boldsymbol\Sigma}^{-1}({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})}
,

注意这里的|\Sigma|表示协方差矩阵的行列式。

; 二元的情况
在二维非奇异的情况下（），向量 的概率密度函数为：
: f(x,y) =
\frac{1}{2 \pi \sigma_X \sigma_Y \sqrt{1-\rho^2}}
\mathrm{e}^{
-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[
(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X})^2 -
2\rho(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X})(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}) +
(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y})^2
\right]
}

其中 ρ 是 X 与 Y 之间的相关系数， \sigma_X>0 且 \sigma_Y>0 。在这种情况下，
:
\boldsymbol\mu = \begin{pmatrix} \mu_X \\ \mu_Y \end{pmatrix}, \quad
\boldsymbol\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_X^2 & \rho \sigma_X \sigma_Y \\
\rho \sigma_X \sigma_Y & \sigma_Y^2 \end{pmatrix}.

参考文献