在数学和逻辑領域中，直接證明是指用已有事實（包括公理、現有的引理和定理）的直接組合，以此證明某命題的真假，證明過程中沒有建立任何的假設。為了要直接證明「若p，則q」的條件命題，只需要考慮前提p為真的情形。邏輯推理可以在此情形下，從前提推導出結果，所使用的邏輯幾乎都是一阶逻辑，使用全称量化（所有）和存在量化（存在一個）的量詞。常見使用的推理原則是肯定前件和全称实例化。
間接證明和直接證明相反，從一些假設情境開始，接著消除每個假設情境中的不確定性，最後會得到一個必然的結論。換句話說，此作法不是證明p ⇒ q，而是證明逆否命題~q ⇒ ~p（假定~q，證明會造成~p）。因為p ⇒ q和~q ⇒ ~p根據逆否命题原則是等價的（可參考排中律），也就間接的證明了p ⇒ q。不是直接證明的證明方式包括反證法和无穷递降法。而穷举法和数学归纳法都屬於直接證明。
歷史和詞源
直接證明是最簡單的證明。證明一詞的英文proof源自拉丁文的probare，意思是測試。證明最早的應用主要是在法庭訴訟中。有權威的人（例如貴族）有probity，意思證據來自其相對的權威，重要性超過經驗證言。隨著時間演進，數學和證明一起出現在一些實務問題上，像是埃及人和希臘人就對土地測量很熱衷。這自然帶來對几何学和三角学的好奇，特別是有關三角形和矩形的部份。這些形狀在實際應用時引發了最多的問題，因此早期的幾何學關注在這些形狀，而建築物和金字塔也大量使用此形狀。另一個在直接證明歷史上至關重要的是圆，是設計競技場和水槽常會用到。這也就是古代幾何學（和欧几里得几何）探討圓的原因。
數學最早的型式是現象學。例如，若有人畫出了合理的圖，或是提出令人信服的敘述，這就符合某一事物可以當作數學事實描述的所有基準。偶爾會使用類比論證，或甚至「祈求神靈」。那時還沒有數學敘述可以被證明的概念，因此這些就是最早期有關證明的概念，雖然實際上完全沒有證明。
現今人們所知的證明源自於一個問題「什麼是證明？」依傳統觀點，證明是一個平台，可以在超越合理懷疑的情形下，讓人確信某敘述在數學上是正確的。自然有人會假設，證明B為事實最好的方式，是將B可以和某一個舊事物A類比，而A是已被證明的。這就產生了以舊的結果為基礎，推導新結果的作法。
例子
二個偶數的和是偶數
考慮兩個偶數和。因為是偶數，因此可以表示為下式：
: x =2a
: y=2b
而是整數。
兩者的和可以表示為
: x+y = 2a + 2b = 2(a+b)=2p其中p=a+b、、都是整數。
可知是2的倍數，因此是偶數，因此二個偶數的和是偶數。
畢氏定理
圖中有四個直角三角形以及一個方形，組合成較大的方形。每一個直角三角形的邊都是a和b，其斜邊為c。正方形的面積是其邊長的平方。在此例中，較大的正方形面積是(a + b)2，而較大正方形也可以表示為較小正方形以及四個直角三角形的面積和
大正方形的面積是(a + b)2。
直角三角形的面積是 \frac12ab
大正方形的面積若用小正方形和直角三角形的面積和表示，為 4(\frac 12 ab) + c^2
因此
:: (a + b)^2 = 4(\frac 12 ab) + c^2
經簡化後
:: a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2
等式兩邊移去2ab
:: a^2 + b^2 = c^2 ,
因此證明了畢氏定理
奇數的平方也是奇數
依定義，若n為奇數，則可以表示為
: n = 2k + 1
其中的k是整數。因此
:\begin{align}
n^2 &= (2k + 1)^2\\
&= (2k + 1)(2k + 1)\\
&=4k^2 + 2k + 2k + 1\\
&=4k^2 + 4k + 1\\
&=2(2k^2 + 2k) + 1.
\end{align}
因為2k2+ 2k是整數，因此證明n2也是奇數。
參考資料
來源
- (Ch. 1.)
外部連結
*[http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.direct.html Direct Proof] from Larry W. Cusick's [http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.html How To Write Proofs] .
*[http://www.whitman.edu/mathematics/higher_math_online/section02.01.html Direct Proofs] from Patrick Keef and David Guichard's [http://www.whitman.edu/mathematics/higher_math_online/ Introduction to Higher Mathematics] .
*[https://web.archive.org/web/20120324091528/http://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/Direct.pdf Direct Proof] section of Richard Hammack's [http://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/ Book of Proof].
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