立方和

立方和是數學公式的一種，它屬於因式分解、乘法公式及恆等式，被普遍使用。立方和是指一個立方數，加上另一個立方數，即是它們的總和。公式如下：
:a^3\pm b^3 = (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=(a\pm b)^3\mp 3ab(a\pm b)

立方和被因式分解後，答案分別包含二項式及三項式，與立方差相同。

驗證
主驗證
驗證此公式，可透過因式分解，首先設以下公式：
:a^2b - a^2b + ab^2 - ab^2 = 0 \,\!
然後代入：
: a^3 + b^3 = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 \,\!
透過因式分解，可得：
: a^3 + b^3 = a(a^2 - ab + b^2) + b (a^2 - ab + b^2) \,\!
: a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \,\!
這樣便可驗證：a^3+b^3 \equiv (a+b)(a^2-ab+b^2)

和立方驗證
透過和立方可驗證立方和的原理：
:(x + y)^3 \,\!
:= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \,\!
那即是只要減去3x^2y及3xy^2便可得到立方和，可設：
: x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3x^2y - 3xy^2 \,\!
:右邊的方程 = (x + y)^3 - 3x^2y - 3xy^2 \,\!
運用因式分解的方法：
:= (x + y)^3 - 3xy (x + y) \,\!
:= (x + y) \left[ (x + y)^2 - 3xy \right] \,\!
:= (x + y) (x^2 + 2xy + y^2 - 3xy) \,\!
:= (x + y) (x^2 - xy + y^2) \,\!

這樣便可驗證出：x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \,\!

幾何驗證
透過繪立體的圖像，也可驗證立方和。
根據右圖，設兩個立方，總和為：
:x^3 + y^3 \,\!
把兩個立方體對角貼在一起，根據虛線，可間接得到：
:(x + y)^3 \,\!
要得到x^3 + y^3，可使用(x + y)^3的空白位置。該空白位置可分割為3個部分：
*x \times y \times (x+y)
*x \times (x+y) \times y
*(x+y) \times y \times x
把三個部分加在一起，便得：
:= xy(x+y) + xy(x+y) + xy(x+y) \,\!
:=3xy(x + y) \,\!
之後，把(x + y)^3減去它，便得：
=(x + y)^3 - 3xy(x + y) \,\!
上公式發現兩個數項皆有一個公因子，把它抽出，並得：
:=(x + y) \left[ (x + y)^2 - 3xy \right] \,\!
(x + y)^2可透過和平方公式，得到：
:=(x + y) (x^2 + 2xy + y^2 - 3xy) \,\!
:=(x + y) (x^2 - xy + y^2) \,\!
這樣便可證明 x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2) \,\!

反驗證
透過(a + b)(a^2 - ab + b^2) 也可反驗證立方和。
:(a + b)(a^2 - ab + b^2) \,\!
:= a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2) \,\!
:= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 \,\!
:= a^3 + b^3 \,\!

以上計算方法亦可簡化為一個表格：

這樣便可證明 a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \,\!

立方差
立方差也可以使用立方和來驗證，例如：
:125u^3 - 343v^3 \,\!
把兩個數項都轉為立方數：
:=(5u)^3 - (7v)^3 \,\!
運用負正得負，可得：
:= (5u)^3 + (-7v)^3 \,\!
然後運用立方和，可得：
:= \left[ 5u + (-7v) \right] \left[ 25u^2 - (5u) (-7v) + (-7v)^2 \right]
:=(5u - 7v) (25u^2 + 35uv + 49v^2) \,\!
這個方法更可驗證到立方差的公式是a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \,\!

兩組立方和的數
有些整數可以有兩個立方和組合，
而最少的，已是過千的1729。它是兩組不同的立方和：
:1729 = 1^3 + 12^3 \,\!
:1729 = 9^3 + 10^3 \,\!

下一個同樣有兩個立方和組合的整數是4104：
:4104 = 9^3 + 15^3 \,\!
:4104 = 2^3 + 16^3 \,\!

首十個兩組立方和的數：1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728

参见
*幾何學
*工程學

參考文獻