{{Probability distribution
|name = 卡方分布
|type = 密度
|pdf_image =
|cdf_image =
|parameters =k \in \mathbb{N}^\star~~ 自由度
|support = x \in [0; +\infty)，
|pdf = \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\; x^{\frac{k}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}\,
|cdf = \frac{1}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\;\gamma\left(\frac{k}{2},\,\frac{x}{2}\right)
|mean = k
|median = \approx k\bigg(1-\frac{2}{9k}\bigg)^3
|mode = max{ k − 2, 0 }
|variance = 2k
|skewness = \scriptstyle\sqrt{8/k}\,
|kurtosis = 12/k
|entropy = \begin{align}\frac{k}{2}&+\ln(2\Gamma(k/2)) \\ &\!+(1-k/2)\psi(k/2)\end{align}
|mgf = (1-2\,t)^{-k/2}，2\,t
|char = (1-2\,i\,t)^{-k/2}
}}
卡方分布（, ，或寫作**χ²分布**）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是統計推論中应用最为广泛的概率分布之一，例如假說檢定和置信区间的计算。卡方分布也是由标准正态变量的平方和形成的分布。
由卡方分布延伸出來皮爾森卡方檢定常用于：
#樣本某性質的比例分布與母體理論分布的拟合优度（例如某行政機關男女比是否符合該機關所在城鎮的男女比）；
#同一母體的兩個随机变量是否独立（例如人的身高與交通違規的關聯性）；
#二或多個母體同一屬性的同質性檢定（義大利麵店和壽司店的營業額有沒有差距）。（詳見皮爾森卡方檢定）
数学定义
若k个随机变量Z_1、......、Z_k是相互独立且符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量Z的平方和
:X=\sum_{i=1}^k Z_i^2
被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作
: X\ \sim\ \chi^2(k) \,
: \ X\ \sim\ \chi^2_k
性质
可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。
概率密度函数
卡方分布的概率密度函数为：
:f_k(x)=
\frac{1}{2^\frac{k}{2}\Gamma(\frac{k}{2})} x^{\frac{k}{2}- 1} e^{\frac{-x}{2}}
其中x\geq 0，当x\leq 0时f_k(x)=0。这里Γ代表Gamma函数。
累积分布函数
卡方分布的累积分布函数为：
:F_k(x)=\frac{\gamma\Bigl( \frac{k}{2},\frac{x}{2} \Bigr)}{\Gamma(\frac{k}{2})}，
其中γ(k,z)为不完全Γ函数
在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。
自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。
卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：
:H
\int_{-\infty}^\infty f(x)\ln(f(x)) dx
\frac{k}{2}
+
\ln
\left(
2 \Gamma
\left(
\frac{k}{2}
\right)
\right)
+
\left(1 - \frac{k}{2}\right)
\psi(k/2)
其中\psi(x)是雙伽瑪函數。
卡方變數與Gamma變數的關系
當Gamma變數 頻率（λ）為1/2時，α的2倍為卡方變數之自由度。
即：
:r.v. Y
\chi^2 \left(U\right)
\Gamma \left( \alpha = \frac{U}{2} , \lambda = \frac{1}{2}\right)
:\operatorname{E} \left( \chi^2 \left(U\right) \right)
\operatorname{E} \left( Y \right)
\frac{\alpha}{\lambda}
\frac{\frac{U}{2}}{\frac{1}{2}}
U
:\operatorname{Var} \left( \chi^2 \left(U\right) \right)
\operatorname{Var} \left( Y \right)
\frac{\alpha}{\lambda^2}
\frac{\frac{U}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}
2U
卡方變數之期望值＝自由度
卡方變數之方差＝两倍自由度
可加性
由定义可得，独立卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地，若X_1,X_2,\dots X_n分别独立服从自由度为k_1,k_2,\dots k_n的卡方分布，那么它们的和\sum_{i=1}^n X_i服从自由度为\sum_{i=1}^n k_i的卡方分布。
偏差的平方和
若k个随机变量Z_1、......、Z_k是相互独立，符合标准正态分布的随机变量，则它们与均值之间偏差的平方和
X=\sum_{i=1}^k (Z_i-\bar{Z})^2 \sim \chi^2_{k-1}
其中均值
\bar{Z} = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k Z_i
它的平方正比于自由度为1的卡方分布，即
n \bar{Z}^2 \sim \chi^2_1
卡方分布表
p-value = 1- p_CDF.
χ2越大，p-value越小，則可信度越高。通常用p=0.05作为閾值，即95%的可信度。
常用的χ2与p-value表如下:
参考文献
外部链接
*[http://molecular-service-science.com/2012/08/03/cross-table-and-chi-squared-test/ 卡方分配與卡方檢定]
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