平行六面体

在几何学中，平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体，是一種平行多面體。它与平行四边形的关系，正如正方体与正方形之间的关系；在欧几里得几何中这四个概念都允许，但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为：
*六个面都是平行四边形的多面体；
*有三对对面平行的六面体；
*底面为平行四边形的棱柱。
长方体（六个面都是长方形）、正方体（六个面都是正方形），以及菱面体（六个面都是菱形）都是平行六面体的特殊情况。

平行六面体是拟柱体的一个子类。

性质
平行六面体可由正方体经线性变换而成。

用相同的平行六面体，可以镶嵌整个空间。

体积
基本公式
平行六面体的体积是底面 A 与高 h 的乘积，即
:V = Ah 。
这里的高是底面与对面的垂直距离。

以向量計算
另外一个方法是用向量 \mathbf{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) ， \mathbf{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) ，以及 \mathbf{c} = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) 来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积 V 等于純量三重积：

:V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| = |\mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a})| = |\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})|。

證明：

以 \mathbf{b} 和 \mathbf{c} 来表示底面的边，则根据向量积的定义，底面的面积 A 为：
:A= |\mathbf{b}| |\mathbf{c}| \sin \theta = |\mathbf{b} \times \mathbf{c}| ，
其中 \theta 是 \mathbf{b} 与 \mathbf{c} 之间的角，而高为：
:h=|\mathbf{a}| \cos \alpha ，
其中 \alpha 是 \mathbf{a} 与 h 之间的角。

从图中我们可以看到， \alpha 的大小限定为 0^\circ \le \alpha 。而向量 \mathbf{b} \times \mathbf{c} 与 \mathbf{a} 之间的角 \beta 则有可能大于90°（0^\circ \le \beta ）。也就是说，由于 \mathbf{b} \times \mathbf{c} 与 h 平行， \beta 的值要么等于 \alpha ，要么等于 180^\circ - \alpha 。因此：
: \cos \alpha = \pm \cos \beta = |\cos \beta |，
且
:h=|\mathbf{a}| |\cos \beta|。
我们得出结论：
:V = Ah = |\mathbf{a}| |\mathbf{b} \times \mathbf{c}| |\cos \beta| ，
于是，根据純量积的定义，它等于 \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) 的绝对值，即：
:V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| 。
证毕。

最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值：
: V = \left| \det \begin{bmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{bmatrix} \right| 。

以稜長及夾角計算
若 a 、b 及 c 是三條兩兩相鄰的稜長，且\alpha 、 \beta 及 \gamma 是三條稜邊的夾角，則平行六面体的体积為：
:V = a b c \sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)} 。

證明

從上面可知，平行六面体的体积可表示為：
: V = |\det \mathbf{D}|
其中：
: \mathbf{D} = \begin{bmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{bmatrix} 。

因此

:V^{2} = \det (\mathbf{D}\mathbf{D}^{t}) = \det \begin{bmatrix}
a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\
b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \\
c \cdot a & c \cdot b & c \cdot c
\end{bmatrix}

依行列式及純量積定義展開公式右手邊，即可得上述公式。

以座標計算
選取任意一頂點 (x_1, y_1, z_1) 以其相鄰三個頂點 (x_2, y_2, z_2) 、 (x_3, y_3, z_3) 及 (x_4, y_4, z_4) ，則體積可表示為：
:V = \left| \det \begin{bmatrix}
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\
\end{bmatrix} \right|.

特殊情况
如果平行六面体具有对称平面，则一定是以下两种情况之一：
*四个面是长方形；
*两个面是菱形，而在另外四个面中，两个相邻面相等，另外两个面也相等。

长方体是六个面都是长方形的平行六面体；正方体是六个面都是正方形的平行六面体。

菱面体是六个面都是菱形的平行六面体；三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。

完美平行六面體
完美平行六面體指棱長、面對角線和體對角線都是整數的平行六面體。在2009年，發現了數十個完美平行六面體的例子，包括棱長271、106及103，劣面對角線長101、 266及255，優面角線長183、 312及323,以及體對角線長374、 300、 278及272的平行六面體。

超平行体
平行六面体在高维空间的推广称为超平行体。

特别地，n维空间中的超平行体称为n维超平行体。因此，平行四边形就是2维超平行体，平行六面体就是3维超平行体。

n维超平行体的所有对角线相交于一点，并被这个点所平分。

位于\mathbb{R}^m空间中的n维超平行体的n维体积（m \ge n），可以用格拉姆行列式的方法来计算。

参考文献

• Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 122, 1973.

外部链接
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