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平方差

Wikipedia · 2026-08-01 维基百科 👁 1 阅读

平方差公式是數學公式的一種，屬於乘法公式、因式分解及恆等式，被普遍使用。平方差指一個平方數減去另一個平方數得來的乘法公式：
:a^2-b^2 = \left(a+b\right)\left(a-b\right)

因乘法具有交換律，故(a+b)及(a-b)的順序可前後交換且不影響結果。

驗證
主驗證
平方差可利用因式分解及分配律來驗證：
:\begin{align}
a^2-b^2 &=a^2-0-b^2 \\
&=a^2-(ab-ba)-b^2 \\
&=a^2-ab+ba-b^2 \\
&=(a^2-ab)+(ba-b^2) \\
&=a(a-b)+b(a-b) \\
&=(a-b)(a+b) \\
\end{align}

方格驗證
平方差能使用表格方式來驗證。

這樣可驗證出(a-b)(a+b) = a^2 - b^2

幾何驗證
平方差可利用一個普通的平面圖表驗證出來。右圖中，是正方形a^2減去正方形b^2，那即是a^2 - b^2。利用平方差，計算出陰影部分的面積就是(a+b)(a-b)。
方法一
根据右图，可先將阴影部分分割成三部分，分別为：
*b(a-b)\,\!
*(a-b)^2\,\!是灰正方
*b(a-b)\,\!

然后，將三部分加起：
:b(a-b)+(a-b)^2+b(a-b)\,\!
:=ab-b^2+a^2-2ab+b^2+ab-b^2\,\!
:=ab+ab-2ab-b^2+b^2+a^2-b^2\,\!
:=a^2-b^2\,\!

*註：(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 运用了差平方。

方法二
與方法一差不多，先將陰影部分分割為兩部分，分別為：
*a(a-b)\,\!大長方
*b(a-b)\,\!小長方

然後，將兩部分加起：
:a(a-b)+b(a-b)\,\!
:=a^2-ab+ab-b^2\,\!
:=a^2-b^2\,\!

例子
例子一
:x^2-16\,\!

計算此公式，必須把兩個數項都轉為平方。並得：
:=x^2-4^2\,\!
:=(x-4)(x+4)\,\!

例子二
:16m^2-81n^2\,\!

計算此公式，同樣地把兩個數項轉為平方。並得：
:=(4m)^2-(9n)^2\,\!
:=(4m-9n)(4m+9n)\,\!

例子三
:4y^2-36z^2\,\!

計算此公式，雖4y^2及36z^2的開方分別是2y及6z，但最好的方法是先抽出公因子，並得：
:=4(y^2-9z^2)\,\!

同樣地把兩個數項轉為平方，並得：
:=4\left[y^2-(3z)^2\right]\,\!
:=4(y-3z)(y+3z)\,\!

例子四
:\frac{1}{x^4} - \frac{13}{x^2} + 36
首先，可將該兩個分數轉成正數，並得：
:=x^{-4} - 13x^{-2} + 36\,\!
:=(x^{-2})^2 - 13(x^{-2}) + 36\,\!
運用因式分解的方法得出：
:=x^{-2} \times x^{-2} - 9(x^{-2}) - 4(x^{-2}) + 9 \times 4
:=(x^{-2} - 4)(x^{-2} - 9) \,\!

然後，把所有可被開方的數目轉為平方數，並得到：
:= \left[(x^{-1})^2 - 2^2\right] \left[(x^{-1})^2 - 3^2\right]
運用平方差並得出：
:=(x^{-1} - 2)(x^{-1} + 2)(x^{-1} - 3)(x^{-1} + 3) \,\!
或
:= \left(\frac{1}{x} - 2\right) \left(\frac{1}{x} + 2\right) \left(\frac{1}{x} - 3\right) \left(\frac{1}{x} + 3\right) \,\!

運用
用平方差代替整數相乘
某些特別的整數相乘，能巧妙地使用平方差來計算，並可減省复雜的計算步驟。

例子一，兩個數項都分別是10^n的+x及-x：
*10\times 10 = (10-0)(10+0) = 10^2 - 0^2 = 100 - 0 = 100
*7\times13 = (10-3)(10+3) = 10^2 - 3^2 = 100 - 9 = 91
*95\times105 = (100-5)(100+5) = 100^2 - 5^2 = 10,000 - 25 = 9,975
*99,994\times100,006 = (100,000-6)(100,000+6) = 100,000^2 - 6^2 = 10,000,000,000 - 36 = 9,999,999,964

例子二：第一個數項減去第2個數項，都是10^n：
*14^2 - 4^2 = (14+4)(14-4) = 18\times 10 = 180 \,\!
*125^2 - 25^2 = (125+25)(125-25) = 150\times 100 = 15,000 \,\!
*1,750^2 - 750^2 = (1,750+750)(1,750-750) = 2,500\times 1,000 = 25,000,000 \,\!
*14,205^2 - 4,205^2 = (14,205+4,205)(14,205-4,205) = 18,410\times 10,000 = 184,100,000 \,\!

例子三：運用分配律、平方差來計出以下很大而覆雜的數項：
*3263 \times 3264 \times \left(\frac{3264}{3263} - \frac{3265}{3264}\right)
:下一步先運用分配律：
:=3263 \times 3264 \times \frac{3264}{3263} - 3263 \times 3264 \times \frac{3265}{3264}
:並把所有相同數項約簡，並得：
:=3264^2 - 3263 \times 3265
:運用平方差，並得：
:=3264^2 - (3264 - 1)(3264 + 1) \,\!
:=3264^2 - (3264^2 - 1^2) \,\!
:=3264^2 - 3264^2 + 1 \,\!
:=1 \,\!

錯誤運用
很多人混淆了平方差、差平方，除了文字上外，不少人都錯誤計算。

*註：(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ，詳見差平方

數論性質
因為平方數除以4的餘數衹能是0或1，所以兩個整數的平方差模4餘0、1或3。另一方面，
: (k+1)^2 - (k-1)^2 = 4k
說明模4餘0的數皆可寫成平方差，而
: (k+1)^2 - k^2 = 2k+1
說明模4餘1或3的數（奇數）可以寫成平方差。

內部連結
*乘法公式
*因式分解
*恆等式
*乘法
*平方
*平方數

參考文獻
外部連結

#数学公式 #初等代数

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