西尔维斯特矩阵，是与两个多项式相关的矩阵，从这个矩阵可以知道这两个多项式的一些信息。
定义
设p和q为两个多项式，次数分别为m和n。因此：
:p(z)=p_0+p_1 z+p_2 z^2+\cdots+p_m z^m,\;q(z)=q_0+q_1 z+q_2 z^2+\cdots+q_n z^n.
于是，与p和q相关的西尔维斯特矩阵，就是通过以下方法得到的矩阵(n+m)\times(n+m)：
- 第一行为：
:\begin{pmatrix} p_m & p_{m-1} & \cdots & p_1 & p_0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.
- 第二行是第一行往右移一列；第二行第一列的元素是零。
- 下面的(n-2)行也是用这种方法得出，每次都往右移一列。
- 第(n+1)行为：
:\begin{pmatrix} q_n & q_{n-1} & \cdots & q_1 & q_0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.
- 余下的行仍然是每次都往右移一列。
因此，如果我们设m=4和n=3，则矩阵为：
:S_{p,q}=\begin{pmatrix}
p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 & 0 \\
0 & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 \\
0 & 0 & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 \\
q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 \\
\end{pmatrix}.
应用
西尔维斯特矩阵用于交换代数中，例如测试两个多项式是否有一个（非常数）公因式。确实，在这种情况下，相关的西尔维斯特矩阵的行列式（称为两个多项式的结式）等于零。反过来也成立。
以下线性方程组的解
:{S_{p,q}}^\mathrm{T}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
其中x是大小为n的向量，y是大小为m的向量，由满足下式的多项式对x, y（次数分别为n-1和m-1）的系数向量构成：
:x \cdot p + y \cdot q = 1
这就是说，西尔维斯特矩阵的转置的核给出了裴蜀方程的所有解，其中\deg x 且\deg y 。
这样，西尔维斯特矩阵的秩决定了p和q的最大公因式的次数：
:\deg(\gcd(p,q)) = m+n-\mathrm{rank}~S_{p,q}
参考文献
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